Probar la factorización de la diferencia de \(n\)-ésimas potencias
Probar que:
\[
A^{n}+B^{n}=\left(A-B\right)\left(A^{n-1}+A^{n-2}B+A^{n-3}B^{2}+\cdots+AB^{n-2}+B^{n-1}\right)
\]
\(A^{n}+B^{n}\)\(=\left(A-B\right)\)\(\left(A^{n-1}+A^{n-2}B+A^{n-3}B^{2}+\cdots+AB^{n-2}+B^{n-1}\right) \)
Solución
Efectuando la multiplicación de la derecha tenemos:
\begin{array} {l l} A^{n-1}+A^{n-2}B+A^{n-3}B^{2}+\cdots+AB^{n-2}+B^{n-1} \\ A-B \\ \hline A^{n}+A^{n-1}B+A^{n-2}B^{2}+\cdots+A^{2}B^{n-2}+AB^{n-1} \\ \quad \; \; -A^{n-1}B-A^{n-2}B^{2}-\cdots-A^{2}B^{n-2}-AB^{n-1}-B^{n} \\ \hline A^{n}-B^{n} \end{array}