Probar el teorema 1.1.1 (teorema de transposición).

1. \(\boldsymbol{A\pm C=B\Rightarrow A=B\mp C}\)
2. \(\boldsymbol{kA=B\Rightarrow A=\dfrac{B}{k},\,k\neq0}\)
3. \(\boldsymbol{\dfrac{A}{k}=B\Rightarrow A=kB,\,k\neq0}\)

Solución

1. \( A\pm C=B \Rightarrow \left(A\pm C\right)+\left(\mp C\right)=B\mp C \)

   (Propiedad aditiva)

   \( \qquad \Rightarrow A+\left(\pm C\mp C\right)=B\mp C \)

   (Propiedad asociativa)

   \( \qquad \Rightarrow A+0=B\mp C \)

   (Propiedad del inverso aditivo)

   \( \qquad \Rightarrow A=B\mp C \)

   (Elemento neutro de la adición)
2. \(kA=B \Rightarrow\dfrac{1}{k}\left(kA\right)=\dfrac{1}{k}B \)

   (Propiedad multiplicativa)

   \( \qquad \Rightarrow\left(\dfrac{1}{k}k\right)A=\dfrac{B}{k} \)

   (Propiedad asociativa)

   \( \qquad \Rightarrow1\cdot A=\dfrac{B}{k} \)

   (Propiedad del inverso multiplicativo)

   \( \qquad \Rightarrow A=\dfrac{B}{k} \)

   (Elemento neutro de la multiplicación)
3. Similar a 2.