Sección 3.6

Cálculo Diferencial

Respuestas ✓

2,100,000 litros/año
a. 200 habitantes por año b. 2%
\( 3\pi \) m²/seg
1.5 m/min
-4.5 m/min
-2.8 km/h
16 m/min
80 pies/min
(-1, -5)
\( 100\sqrt{3} \) cm²/min
-15 cm/seg
\( -\frac{10}{\pi} \) pies/min, -240 pies²/min
\( -\frac{7}{2} \) m/min
\( -\frac{80}{3} \) m/seg
\( \frac{1}{3\pi} \) m/min
3 m/hora
\( \frac{8}{75} \) m/hora
-0.9 m/hora
\( -\frac{17}{\sqrt{10}} \approx -5.38 \) pies/seg
\( \frac{125\pi}{9} \approx 43.63 \) m/hora
\( \frac{6,600}{\sqrt{124}} \approx 592.7 \) km/h
2.33 m/seg
\( 10\pi \) km/min
-1,200 pies/seg
64 pies/seg
\( \frac{10.7}{49} \approx 0.218 \) ohms/seg
b. 2 horas

Enunciados

El consumo anual en gasolina de un país es \( C(t) = 12.6 – 0.1t + 0.11t^2 \), donde \( C(t) \) se da en millones de litros y \( t \) se da en años computados a partir del año 2004. Hallar la tasa de consumo anual para el inicio del año 2014.
Se ha determinado que después de \( t \) años la población de una comunidad será \( P(t) = 40 – \frac{12}{t+1} \) miles de habitantes. Hallar:
1. tasa de crecimiento después de 7 años.
2. tasa porcentual después de 7 años. Tasa porcentual = \( 100 \frac{P'(t)}{P(t)} \).
Se arroja una piedra a un estanque, y produce olas circulares cuyos radios crecen a razón de 15 cm/seg. Hallar la rapidez con que aumenta el área del círculo encerrado por una ola cuando el radio de ésta es de 60 cm.
Un tanque de agua tiene la forma de un cono invertido de 15 m de altura y 5 m de radio. Si se está llenando de agua a razón de 12 m\(^3\) por minuto, ¿con qué rapidez sube el nivel del agua cuando éste tenga 6 m de profundidad?
Los extremos de una escalera de 10 m están apoyados sobre una pared vertical y un piso horizontal. Si el extremo inferior de la escalera se aleja de la pared a una velocidad de 1 m/seg, ¿a qué velocidad se mueve el extremo superior cuando la parte inferior está a 6 m de la pared?
Un barco navega con dirección Norte a razón de 6 km/h. Otro barco navega con dirección Este a 8 km/h. A las 11 A.M. el segundo barco cruza la ruta del primero en un punto por el cual éste pasó a las 9 horas a.m. ¿Con qué rapidez cambia la distancia entre los barcos a las 12 M.?
Desde la parte superior de un poste de 5.2 m alumbra una bombilla. Un pelícano de 1.60 m de altura se aleja caminando desde el poste a una velocidad de 40 m/min. ¿Con qué velocidad crece su sombra?
Un bote es arrastrado hacia un muelle por medio de una polea que está a 12 pies sobre la cubierta del bote. Si el cable enrolla la cuerda a razón de 40 pies/min, hallar la velocidad del bote cuando quedan 20 pies de cuerda.
Una partícula se mueve a lo largo de la parábola \( y^2 = 4x \). Hallar la posición de la partícula cuando la razón de cambio de la coordenada \( y \) es 4 veces la razón de cambio de la coordenada \( x \).
Los lados de un triángulo equilátero crecen a 4 cm/seg y el área aumenta a razón de 40 cm\(^2\)/seg. ¿Con qué rapidez aumenta el área del triángulo cuando \( x = 20 \) cm?
Las dimensiones de un cilindro circular recto están variando. En un cierto instante, el radio y la altura son 6 cm y 12 cm, respectivamente. Hallar la variación de la altura en ese instante si el volumen permanece constante y el radio aumenta a razón de 0.5 cm/seg.
El gas de un globo esférico se escapa a razón de 100 pies\(^3\)/min. Hallar:
1. rapidez con que disminuye el radio en el instante en que éste es de 5 pies.
2. la rapidez con que disminuye el área de la superficie en el instante en que el radio es de 5 pies. Se sabe que el área de la superficie esférica es \( A = 4\pi r^2 \).
Sean \( V \), \( A \) y \( r \) el volumen, el área de la superficie y el radio de una esfera respectivamente. Probar que: \( \frac{dV}{dt} = A \frac{dr}{dt} \).
Se sabe que: \( V = \frac{4}{3} \pi r^3 \) y \( A = 4\pi r^2 \).
El volumen de un cono circular recto de radio \( r \) y altura \( h \) se achica a una razón de 5 cm\(^3\)/seg. El radio aumenta a razón de 0.7 cm/seg. Si el volumen permanece constante, hallar la razón de variación de la altura en el instante en que \( r = 5 \) cm y \( h = 6 \) cm.
Un avión vuela horizontalmente a una altura constante de 900 m, con una velocidad constante. La trayectoria pasa sobre una estación de radar desde donde el operador observa al avión. Cuando el ángulo de elevación de la línea de mira del operador es de \( \frac{\pi}{4} \), este ángulo está variando a razón de \( -\frac{1}{6} \) rad/seg. Hallar la velocidad del avión.
En una planta de materiales de construcción, una cinta transportadora deposita arena en el piso a razón de 2 m\(^3\)/min. Si la arena forma un montículo en forma de cono cuyo diámetro de la base es 3 veces la altura, hallar con qué rapidez cambia la altura del cono cuando ésta es de 2 m.
Un tanque tiene 8 m de largo, y su sección transversal es un triángulo rectángulo isósceles. Si se vierte agua al tanque a razón de 10 m\(^3\)/min, ¿con qué rapidez sube el nivel del agua cuando éste tiene 1.5 m de profundidad?
Sugerencia: En un triángulo rectángulo isósceles, la altura correspondiente a la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa.
Una piscina tiene 10 m de largo, 20 m de ancho, y su profundidad aumenta uniformemente de 1.0 m a 2.5 m en un extremo, en una distancia horizontal de 10 m a 20 m, como se muestra en la figura.

Si la piscina se llena a razón de 1.2 m\(^3\)/min, ¿con qué rapidez sube el nivel del agua en el instante en que éste está a 1 m de la parte más profunda?
Un tanque tiene la forma de un cono circular recto truncado de 2 m de altura, 6 m de radio superior y 3 m de radio inferior.

Si el tanque se está llenando de agua a razón de 16 m\(^3\)/min, hallar la rapidez con que sube el nivel del agua cuando ésta tiene 1 m.

El volumen \( V \) de un cono circular recto truncado de altura \( h \), radios \( r \) y \( R \) de los extremos es: \( V = \frac{\pi h}{3} (R^2 + r^2 + rR) \).
En un campo de béisbol (cuadrado con lado de 90 pies), un jugador está corriendo desde la primera base hacia la segunda, con una velocidad de 12 pies/seg. Hallar la velocidad con que se aproxima el jugador a la tercera base en el instante en que éste se encuentra a 60 pies de la primera base.
Un edificio de 60 m de altura proyecta su sombra sobre el piso (horizontal); y el ángulo formado por el piso y los rayos solares disminuye a razón de \( 10^\circ \) por hora. Si la sombra del edificio es de 90 m en un determinado instante, ¿con qué rapidez cambia la sombra en ese instante?
Un avión se eleva con un ángulo de inclinación de \( 30^\circ \) y a una velocidad constante de 600 km/hora. A 5 km por encima de un punto \( P \) en el suelo, hallar la razón de cambio de la distancia entre el avión y el punto \( P \) un minuto más tarde.

Sugerencia: Ley de los cosenos: \( a^2 = b^2 + c^2 – 2bc \cos \alpha \)
Una escalera de 12 metros de longitud está apoyada sobre un talud inclinado a \( 60^\circ \) con respecto al suelo horizontal.

Si la base es empujada hacia el talud a razón de 2.5 m/seg, hallar la rapidez con que se desplaza el extremo superior de la escalera, cuando la base está a 4 metros del talud, expresando las unidades en metros por el problema anterior.
Un faro está situado a 4 km de una playa recta y su luz gira a razón de 2 revoluciones por minuto.
Hallar la rapidez con que se mueve el rayo de luz a lo largo de la playa en el momento en que éste pasa por un punto situado a 3 km del punto frente al faro.
Una bombilla situada desde el extremo superior de un poste de 10 pies de altura. Hacia un muro situado a 8 metros alumbra una estaca de 6 pies cuya base está a 20 pies de distancia de la farola. Hallar la velocidad con que se mueve la sombra de la estaca, sabiendo que la posición de ésta, después de \( t \) segundos, es \( s = 10t^2 \).
Un policía de 6 pies de altura está haciendo guardia a 12 pies del punto \( P \) que está directamente debajo de una lámpara que ilumina la acera, que cuelga a 30 pies sobre el suelo. La lámpara comienza a caer, provocando que la sombra del policía comience a crecer.

Si la longitud de la sombra es de la lámpara es \( s = 16t^2 \) pies en \( t \) segundos, ¿con qué velocidad crece la sombra transcurrido 1 segundo?
Dos resistencias, \( R_1 \) y \( R_2 \), están conectadas en paralelo, y su resistencia equivalente total \( R \) es: \[ \frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \] Si \( R_1 \) cambia a razón de 0.5 ohms/seg y \( R_2 \) cambia a razón de 0.2 ohms/seg, ¿cómo cambia \( R \) cuando \( R_1 = 60 \) ohms y \( R_2 = 90 \) ohms?
Sabiendo que un trozo de hielo esférico se derrite a una razón proporcional al área de su superficie:
1. probar que la razón con que se contrae su radio es constante.
2. hallar el tiempo que tardará en derretirse completamente, si se sabe que al cabo de una hora el hielo que queda es \( \frac{1}{8} \) de la cantidad inicial.
Sugerencia: Si \( r_0 \) es el radio inicial y \( r \) es el final, entonces \( r = A t + r_0 \).