En los problemas del 1 al 6, esbozando la función correspondiente, deducir que las ecuaciones dadas tienen una única raíz. Mediante el método de Newton-Raphson, hallar una aproximación a esta raíz con seis cifras decimales.
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\[ x^3 – 4x^2 + 2 = 0 \]
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\[ x^3 – 6x^2 + 9x + 1 = 0 \]
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\[ \cos x = x \]
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\[ \cos(x^3) = x \]
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\[ e^{-x} = x \]
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\[ x \ln x = 1 \]
En los problemas del 7 al 11, muestre que \(f(x) = 0\) tiene una raíz en el intervalo \([a, b]\) verificando que \(f(a)\) y \(f(b)\) tienen diferentes signos. Luego, mediante el método de Newton-Raphson, hallar una aproximación a esa raíz, con seis cifras decimales.
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\( f(x) = \text{sen } 2x – x + 1\), \( a = 1\), \( b = 2 \)
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\( f(x) = \text{sen } x – e^{-x}\), \( a = 2\), \( b = 4 \)
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\( f(x) = \tan x + x\), \( a = 2\), \( b = 3 \)
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\( f(x) = \tan^{-1} x – \frac{x}{2}\), \( a = -3\), \( b = -2 \)
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\( f(x) = \text{sen}^{-1} x – (x – 1)^2\), \( a = 0\), \( b = 1 \)
En los problemas del 12 y 13, hallar el valor del radical dado con 6 cifras de aproximación.
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\[ \sqrt[3]{19} \]
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\[ \sqrt[6]{2} \]
En los problemas 14 y 15, usando el método de Newton-Raphson, determinar, con 6 cifras decimales, la coordenada x del punto donde se intersectan las curvas dadas.
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\[ y = \ln x, \quad y = 4x – x^2 \]
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\[ y = \tan^{-1} x, \quad y = 2 – x \]
- Dada la parábola \( y = x^2 \), hallar:
- el punto \( P_0 \) en la gráfica, el cual está más cerca del punto \( (2, 0) \).
- la distancia de este punto al punto \( (2, 0) \).
Dar las respuestas con tres decimales de aproximación.
- Hallar el máximo absoluto de la función \( g(x) = \cos x + 5x – x^2 \). Dar la respuesta con 3 cifras decimales de aproximación.
- Dada la función:
\[ f(x) = \begin{cases} \sqrt{x – a}, & \text{si } x \ge a \\ -\sqrt{a – x}, & \text{si } x \le a \end{cases} \]
Si una raíz de la ecuación \( f(x) = 0 \) es \( a \), probar que el método de Newton-Raphson falla en aproximar la raíz \( a \).
Para esto debe probar que, para cualquier número positivo \( h \), si \( x_1 = a + h \), entonces \( x_2 = a – h \); y si \( x_1 = a – h \), entonces \( x_2 = a + h \).
