Probar las siguientes leyes de los radicales.

1. \( \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab} \)
2. \( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a} \)

Solución:

1. Sea \(\sqrt[n]{a}=c\) y \(\sqrt[n]{b}=d\). Luego, \(a=c^{n}\) y \(b=d^{n}\). Así, \[ ab=c^{n}d^{n}=\left(cd\right)^{n} \]

   Por lo tanto, \(\sqrt[n]{ab}=cd=\sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b}\).

2. Sea \(\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=b\). Luego, \(\sqrt[n]{a}=b^{m}\) y: \[ a=\left(b^{m}\right)^{n}=b^{mn}\Rightarrow\sqrt[mn]{a}=b=\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} \]