Cal. Diferencial Sec. 3.7

Diferenciales

En los problemas del 1 al 3 hallar:

$\boldsymbol{\Delta y}$
$\boldsymbol{dy}$
$\boldsymbol{\Delta y - dy}$

\[ y = x^2 - 1 \]
\[ y = \mathrm{e}^x \]
\[ y = ln x \]

En los problemas del 4 y 5 calcular:

$\boldsymbol{\Delta y}$
$\boldsymbol{dy}$
$\boldsymbol{\Delta y - dy}$

para los valores de $\boldsymbol{x}$ y $\boldsymbol{dx}$ dados.

\[ y = x^2 - 4x, \; x = -1, \; dx = 0.03 \]
\[ y = 10^x, \; x = 1, \; dx = -0.01 \]

En los problemas del 6 al 9 se proporcionan aproximaciones lineales de la funciones dadas en $\boldsymbol{a = 0}$. Verificar que estas aproximaciones son correctas.

\[ \sqrt{ x + 3 } \approx \sqrt{3} + \frac{ \sqrt{3} }{6} x \]
\[ \text{sen } x \approx x \]
\[ \tan x \approx x \]
\[ \mathrm{e}^x \approx 1 + x \]

En los problemas del 10 al 15 hallar $\boldsymbol{dy}$.

\[ y = \mathrm{e}^{ -3 x^2 } \]
\[ y = \sqrt{ 1 - x^2 } \]
\[ y = \sqrt[3]{ \frac{ x - 1 }{ x + 1 } } \]
\[ x^2 + y^2 = 25 \]
\[ x^2 + 2 \sqrt{ xy } - y^2 = 1 \]
\[ y = \sqrt{ \frac{x}{a} } - \sqrt{ \frac{a}{x} } \]
Probar que para valores pequeños de $\mid \Delta x \mid$ se cumple que:

\[ \sqrt[n]{ x + \Delta x } \approx \sqrt[n]{ x } + \frac{ \Delta x }{ n \sqrt[n]{ x^{n-1} } } \]

En los problemas del 17 al 22 hallar un valor aproximado de la expresión indicada.

\[ \sqrt{80} \]
\[ \sqrt[4]{82} \]
\[ \sqrt[3]{ 218 } \]
\[ \sqrt{ 2 + \sqrt[3]{8.2} } \]
\[ \tan^{-1} \left( \mathrm{e}^{0.08} \right) \]
\[ \ln 1.07 \]
Aproximar el valor de $\cos^{4} \left( \frac{\pi}{4} + 0.01 \right)$.
Aproximar el valor de $\text{sen} (60^{\circ} \, 1')$.

Sugerencia: $60^{\circ} \, 1' = \frac{\pi}{3} + \frac{1}{60} \left( \frac{\pi}{180} \right)$.
Un cubo de metal tiene $12\, cm$. de arista. La arista aumenta en $0.2 \, cm$.
1. Aproximar con la diferencial el incremento del volumen.
2. Hallar el valor exacto del incremento.
3. Aproximar con la diferencial el incremento del área total.
4. Hallar el incremento exacto del área total.
Se tiene un tubo de hierro de $8 \, m.$ de largo, $6 \, cm$. de radio y $0.4 \, cm$. de espesor. Usando la diferencial aproximar el volumen de hierro del tubo. El volumen de un cilindro circular recto es $V = \pi r^2 h$, donde $r$ es el radio y $h$ la altura.
Se quiere calcular el área $A$ de una esfera a partir del radio $r$ mediante la fórmula$A = 4 \pi r^2$ y en tal forma que el margen de error sea de $5 \% $. Estimar el margen de error porcentual con que debe medirse el radio.
Al medir el radio de una esfera se obtiene $4 \, m$. Esta medida es segura hasta $0.01 \, m$.
1. Estimar el margen de error al calcular el volumen de la esfera.
2. Estimar el margen de error porcentual.
Al medir una circunferencia mayor de una esfera se obtiene $72\, cm$. con un margen de error de $0.5 \, cm.$
1. Estimar el margen de error al calcular el área de la esfera. $A = 4 \pi r^2.$
2. Estimar el margen de error relativo al calcular el área.
3. Estimar el margen de error al calcular el volumen de la esfera. $V = (4/3)\pi r^3$.
4. Estimar el margen de error relativo al calcular el volumen.
Sugerencia: $C = 2 \pi r$ y $dC = 2 \pi dr$.
Un cateto de un triángulo rectángulo mide exactamente $30\, cm.$ Al medir el ángulo opuesto a este cateto se obtiene $60^{\circ}$, con un margen de error de $0.5^{\circ}$.
1. Estimar el margen de error al calcular la hipotenusa.
2. Estimar el margen de error porcentual al calcular la hipotenusa.
Se estima que el próximo mes, se venderán 8,000 unidades de cierto producto. Esta estimación tiene un margen de error de $3\%$. La función ganancia es:

\[ G(x) = 5x - 0.0002x^2 \text{ dólares,} \]

donde $x$ es el número de unidades vendidas por mes.
1. Calcular la ganancia que dejarán los 8,000 artículos.
2. Estimar el margen de error de la ganancia con el cálculo anterior.
3. Estimar el margen de error relativo.
4. Estimar el margen de error porcentual.

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Respuestas

1. \[ \Delta y = 2x dx + (dx)^2 \]
2. \[ dy = 2x dx \]
3. \[ (dx)^2 \]
1. \[ \Delta y = \mathrm{e}^x \left( \mathrm{e}^{\Delta x} – 1\right) \]
2. \[ dy = \mathrm{e}^x dx \]
3. \[ \mathrm{e}^x \left( \mathrm{e}^{\Delta x} – 1 – dx \right) \]
1. \[ \Delta y = \ln \left( 1 + \frac{\Delta x}{x} \right) \]
2. \[ dy = \frac{dx}{x} \]
3. \[ \ln \left( 1 + \frac{\Delta x}{x} \right) – \frac{dx}{x} \]
1. \[ -0.1791 \]
2. \[ -0.18 \]
3. \[ 0.0009 \]
1. \[ -0.2276278 \]
2. \[ -0.2302585 \]
3. \[ 0.0026307 \]

\[ dy = -6x \mathrm{e}^{-3x^2} \]
\[ dy = -\frac{x dx}{ \sqrt{1 – x^2}} \]
\[ dy = \frac{2 dx}{ 3 (x + 1)^{\frac{4}{3}} (x – 1)^{\frac{2}{3}} } \]
\[ dy = -\frac{x}{y} dx \]
\[ dy = \frac{2x + \sqrt{ \frac{y}{x} }}{ 2y – \sqrt{ \frac{x}{y} } } dx \]
\[ dy = \frac{1}{2} \sqrt{ \frac{a}{x} } \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{x} \right) dx \]

\[ 8.9444 \]
\[ 3.0092592 \]
\[ 6.0185 \]
\[ 2.004 \]
\[ \frac{\pi}{4} + 0.04 \approx 0.8254 \]
\[ 0.07 \]
\[ 0.24 \]
\[ 0.86618 \]
1. \[ 86.4 \, cm \]
2. \[ 87.848 \, cm^3 \]
3. \[ 28.8 \, cm^2 \]
4. \[ 29.04 \, cm^2 \]
\[ 3,840 \pi \approx 12063.71 cm^3 \]
\[ 2.5 \% \]
1. \[ 0.64 \pi \, m^3 \]
2. \[ 0.75 \% \]
1. \[ \frac{72}{\pi} \approx 22.92 cm^2 \]
2. \[ \frac{1}{72} \approx 0.01389 \]
3. \[ \frac{1,296}{ \pi^2 } \approx 131.312 \]
4. \[ \frac{1}{48} \approx 0.0208 \]
1. \[ \frac{\pi}{ 18 } \approx 0.174533 \]
2. \[ 0.504 \% \]
1. \[ \$ 27,200 \]
2. \[ \$ 432 \]
3. \[ 0.0159 \]
4. \[ 1.59 \% \]