Propiedades del Triángulo

Teorema de Pitágoras

A continuación presentamos el triángulo rectángulo $ \triangle ABC $:

Catetos: $ \overline{AB} $ y $ \overline{BC} $

Hipotenusa: $ \overline{AC} $

Sean: $ a = \overline{AC} $, $ b = \overline{AB} $ y $ c = \overline{BC} $. De acuerdo al Teorema de Pitágoras se culple que:

$$ a^2 = b^2 + c^2 $$

Area de un triángulo

A continuación presentamos el triángulo $ \triangle ABC $:

Su base es $ \overline{BC} = b $. Su altura es el segmento de recta perpendicular a $ \overline{BC} $ que va desde la base hasta el vértice $ A $, es decir, $ h $.

El área del triángulo es:

$$ \text{Area} = \frac{b \times h}{2} $$

Congruencia de triángulos

Cuando hablamos de congruencia de polígonos nos referimos a dos o mas figuras que tienen coincidencia en cuanto a forma y tamaño, es decir, al ser superpuestas coinciden en todos sus puntos.

Existen tres criterios para determinar la congruencia en triángulos: LAL (lado, ángulo, lado) , ALA (ángulo, lado, ángulo) y LLL (lado, lado lado).

Los triángulos $ \triangle ABC $ y $ \triangle DEF $ serán congruentes, sí y solo sí, se cumple uno de los tres criterios a continuación:

Criterio LAL. Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados y el ángulo comprendido, respectivamente congruentes (de igual logitud o media).

$b ≅ e, ∠ A ≅ ∠ D, c ≅ f$
Criterio ALA. Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y el lado comprendido respectivamente congruentes (de igual longitud o medida).

$∠ A ≅ ∠ D, ∠ B ≅ ∠ E, c ≅ f$
Criterio LLL. Dos triángulos son congruentes si tienen sus tres lados, respectivamente congruentes (de igual longitud).

$a ≅ d, b ≅ e, c ≅ f^{'}$

Semejanza de triángulos

Cuando hablamos de semejanza de polígonos nos referimos a dos o mas figuras que tienen coincidencia en cuanto a forma.

Siendo más especificos, los triángulos $ \triangle ABC $ y $ \triangle DEF $ son semejantes si tienen sus tres ángulos congruentes y sus tres lados, respectivamente proporcionales, siendo irrelevante el hecho de que tengan el mismo tamaño.

\[ \angle A \cong \angle D, \; \angle B \cong \angle E, \; \angle C \cong \angle F \] \[ \frac{a}{d} = \frac{b}{e} = \frac{c}{f} \]

Existen tres criterios para determinar la semejanza entre triángulos: LAL(lado, ángulo, lado), AAA(ángulo, ángulo, ángulo) y AA(ángulo, ángulo).

Criterio LAL. Dos triángulos son semejantes si tienen un ángulo congruentes y los lados que forman a ambos ángulos son proporcionales.

\[ \angle A \cong \angle D \quad \text{ y } \quad \frac{b}{e} = \frac{c}{f} \]
Criterio AAA. Dos triángulos son semejantes si tienen tres ángulos congruentes.

\[ \angle A \cong \angle D, \; \angle B \cong \angle E, \; \angle C \cong \angle F \]
Criterio AA. Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos congruentes.

\[ \angle A \cong \angle D, \quad \angle B \cong \angle E \]

Semejanza de triángulos rectángulos

Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen un ángulo agudo congruentes.

\[ \angle B \cong \angle E \]