Precálculo Sec. 1.6

Axiomas de orden. Inecuaciones

En los problemas del 1 al 21 resolver la desigualdad dada. Ilustre la gráfica del conjunto solución.

\[ 4x - 5 < 2x + 3 \]
\[ 2(x - 5) - 3 > 5(x + 4) - 1 \]
\[ \frac{2x-5}{3} -3 > 1 \]
\[ \frac{5x-1}{4} - \frac{x+1}{3} \leq \frac{3x-13}{10} \]
\[ 8 \geq \frac{2x-5}{3} -3 > 1-x \]
\[ 5 < \frac{x-1}{-2} < 10 \]
\[ (x-3)(x+2) < 0 \]
\[ x^2-1 < 0 \]
\[ x^2+2x-20\geq 0 \]
\[ 2x^2+5x-3>0 \]
\[ 9x-2 < 9x^2 \]
\[ (x-2)(x-5) < -2 \]
\[ (x+2)(x-1)(x+3) \geq 0 \]
\[ \frac{x-2}{x+2} \leq 0 \]
\[ \frac{2}{x} \leq -\frac{3}{5} \]
\[ \frac{2}{x-1} \leq -3 \]
\[ \frac{x}{2} + \frac{1}{x} \leq \frac{3}{x} \]
\[ \frac{1}{x+1} - \frac{x-2}{3} \geq 1 \]
\[ \frac{x-1}{x+3} < \frac{x+2}{x} \]
\[ \frac{x+1}{1-x} < \frac{x}{2+x} \]
\[ \frac{4-2x}{x^2+2} > 2 - \frac{x}{x-3} \]
En cierto día la temperatura Celsius de una ciudad varió según el intervalo \(5 \leq C \leq 20\) ¿En que intervalo cambió la temperatura ese día en grados Fahrenheit?
En cierto día la temperatura Fahrenheit de una ciudad varió según el intervalo \(59 \leq F \leq 95\) ¿En que intervalo cambió la temperatura ese día en grados Celcius?
(Longitud máxima) Se quiere construir una caja sin tapa de una lámina rectangular de 52 \(cm\). de largo por 42 \(cm\). de ancho. Para esto, se debe cortar de cada esquina de la lámina un cuadrado de lado \(x\) \(cm\). para luego doblar las aletas. Hallar la máxima longitud \(x\) del cuadrado si se quiere que el área de la base de la caja tenga, por lo menos, 1,200 \(cm^2\).

En los problemas del 25 al 30, probar la proposición dada.

\[ a < b \wedge c > d \Rightarrow a - c < b - d \]
\[ a \neq 0 \Rightarrow a^2 > 0 \]
\[ a > 1 \Rightarrow a^2 > a \]
\[ 0 < a < 1 \Rightarrow a^2 < a \]
\[ 0 < a < b \wedge 0 < c < d \Rightarrow ac < bd \]
\(a \neq 0 \Rightarrow a\) y \(a^{-1}\) tienen el mismo signo (ambos son positivos o ambos negativos).
Se llama media aritmética de dos números \(a\) y \(b\) al número \(\frac{a+b}{2}\). Probar que la media aritmética de dos números está entre los números. Esto es, probar:
\[ a < b \Rightarrow a < \frac{a+b}{2} < b \]
Se llama media geométrica de dos números positivos \(a\) y \(b\) al número \(\sqrt{ab}\). Probar que la media geométrica de dos números está entre los números. Esto es, probar:
\[ 0 < a < b \Rightarrow a <\sqrt{ab} < b \]
Probar que \(\sqrt{ab}\leq \frac{a+b}{2} \), donde \(a \geq 0\) y \(b \geq 0\). Sugerencia: \(0 \leq (a - b)^2\).

\[ (- \infty, \, 4) \]
\[ \left( – \infty, \, -\frac{32}{3} \right) \]
\[ \left( \frac{17}{2}, \, + \infty \right) \]
\[ \left( – \infty , \, -\frac{43}{37} \right] \]
\[ \left( \frac{17}{5}, \, 19 \right] \]
\[ (-19, \, -9) \]
\[ (-2, \, 3) \]
\[ (-1 , \, 1) \]
\[ \left( – \infty, \, -1 – \sqrt{21} \right] \cup \left[ -1 + \sqrt{21}, \, +\infty \right) \]

\[ \begin{aligned} &\left( – \infty, \, -1 – \sqrt{21} \right] \\[.5em] &\hspace{3em} \cup \left[ -1 + \sqrt{21}, \, +\infty \right) \end{aligned} \]
\[ ( – \infty, \, -3 ) \cup \left( \frac{1}{2}, \, + \infty \right) \]
\[ \left( – \infty, \, \frac{1}{3} \right) \cup \left( \frac{2}{3}, \, +\infty \right) \]
\[ (3, \, 4) \]
\[ [-3, \, -2] \cup [1, \, +\infty) \]
\[ ( -2, \, 2 ] \]
\[ \left[ -\frac{10}{3}, \, 0 \right) \]
\[ \left[ \frac{1}{3}, \, 1 \right) \]
\[ (-\infty, \, -2] \cup (0, \, 2] \]
\[ \left( -\infty, \, -1 – \sqrt{3} \right] \cup \left( -1, \, -1 + \sqrt{3} \right] \]

\[ \begin{aligned} &\left( -\infty, \, -1 – \sqrt{3} \right] \\[.5em] &\hspace{3em} \cup \left( -1, \, -1 + \sqrt{3} \right] \end{aligned} \]
\[ ( -3, \, -1 ] \cup ( 0, \, +\infty ) \]
\[ (-\infty, \, -2 ) \cup (1, \, +\infty) \]
\[ \left( 2 – 2 \sqrt{3}, \, 0 \right) \cup \left( 3, \, 2 + 2 \sqrt{3} \right) \]
\[ 41 \leq F \leq 68 \]
\[ 15 \leq C \leq 35 \]
\[ 6 \; cm \]