Precálculo Sec. 2.3

La recta y la ecuación de primer grado

1. Usando pendientes probar que los puntos \(A = (2, 1)\), \(B = (-4, -2)\),   y   \(C = (1, 1/2)\) son colineales.

En los problemas del 2 al 9, hallar una ecuación de la recta que satisface las condiciones dadas y llevarla a la forma} \(\boldsymbol{y = mx + b}\).

2. Pasa por el punto (1, 3) y tiene pendiente 5.
3. Tiene pendiente -3 y pasa por el origen.
4. Pasa por los puntos \((1, 1)\) y \((2, 3)\).
5. Interseca al eje X en 5 y al eje Y en 2.
6. Pasa por el punto \((1, 3)\) y es paralela a la recta \(5y + 3x - 6 = 0\).
7. Pasa por el punto \((4, 3)\)   y es perpendicular a la recta \(5x + y - 2 = 0\).
8. Es paralela a \(2y + 4x - 5 = 0\) y pasa por el punto de intersección de las rectas:
   \[ 5x + y = 4 \text{,} \quad 2x + 5y - 3 = 0 \]
9. Interseca a los ejes coordenados a igual distancia del origen y pasa por \((8, -6)\).
10. Dada la recta \(L:\, 2y - 4x - 7 = 0\):
    1. Encontrar la recta que pasa por el punto \(P = (1, 1)\) y es perpendicular a \(L\).
    2. Hallar la distancia del punto \(P = (1, 1)\) a la recta \(L\).
11. Usando pendientes probar que los puntos \(A = (3, 1)\), \(B = (6, 0)\)   y   \(C = (4, 4)\) son los vértices de un triángulo rectángulo. Hallar el área de dicho triángulo.
12. Determinar cuáles de las siguientes rectas son paralelas y cuáles son perpendiculares:
    1. \[ L_1:\, 2x + 5y - 6 = 0 \]
    2. \[ L_2: \, 4x + 3y - 6 = 0 \]
    3. \[ L_3: \, -5x + 2y - 8 = 0 \]
    4. \[ L_4: \, 5x + y - 3 = 0 \]
    5. \[ L_5: \, 4x + 3y - 9 = 0 \]
    6. \[ L_6: \, -x + 5y - 20 = 0 \]
13. Hallar la mediatriz de cada uno de los siguientes segmentos de extremos:
    27. \[ (1, \, 0) \, \text{ y } \, (2, \, -3) \]
    28. \[ (-1, \, 2) \, \text{ y } \, (3, \, 10) \]
    29. \[ (-2, \, 3) \, \text{ y } \,(-2, \, -1) \]
14. Los extremos de una de las diagonales de un rombo son \((2, -1)\) y \((14, 3)\). Hallar una ecuación de la recta que contiene a la otra diagonal.

    Sugerencia: las diagonales de un rombo son perpendiculares.

15. Hallar la distancia del origen a la recta \(4x + 3y -15 = 0\).
16. Hallar la distancia del punto \((0, -3)\) a la recta \(5x - 12y - 10 = 0\).
17. Hallar la distancia del punto \((1, -2)\) a la recta \(x - 3y = 5\).
18. Hallar la distancia entre las rectas paralelas \(3x - 4y = 0\), \(3x - 4y = 10\).
19. Hallar la distancia entre las rectas paralelas \(3x - y + 1 = 0\), \(3x - y + 9 = 0\).
20. Hallar la distancia de \(Q = (6, -3)\) a la recta que pasa por \(P = (-4, 1)\) y es paralela a la recta \(4x + 3y = 0\).
21. Determinar el valor de \(C\) en la recta \(L: \, 4x +3y + C = 0\) sabiendo que la distancia del punto \(Q = (5, 9)\) a \(L\) es 4 veces la distancia del punto \(P = (-3, 3)\) a \(L\).
22. Hallar las rectas paralelas a la recta \(5x + 12y - 12 = 0\) y que distan 4 unidades de ésta.
23. Hallar la ecuación de la recta que es tangente en el punto \((-1, 1)\) a la circunferencia \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0\).
24. Hallar las ecuaciones de las dos rectas que pasan por el punto \(P = (2, -8)\) y son tangentes a la circunferencia \(x^2 + y^2 = 34\).
25. En el problema anterior, hallar los puntos de contacto de las tangentes con la circunferencia.
26. Hallar las ecuaciones de las dos rectas paralelas a la recta \(2x - 2y + 5 = 0\) y que son tangentes a la circunferencia \(x^2 + y^2 = 9\).
27. Hallar la ecuación de la recta que es tangente en el punto \((2, 2)\) a la circunferencia \(x^2 + y^2 + 2x + 4y - 20 = 0\).
28. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro \(C = (1, -1)\) que es tangente a la recta \(5x - 12y + 22 = 0\).
29. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por \(Q = (4, 0)\) y es tangente a la recta \(3x - 4y + 20 = 0\) en el punto \(P = (-12/5, \,16/5)\).
30. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos \((3, 1)\) y \((-1, 3)\) y su centro está en la recta \(3x - y - 2 = 0\).
31. Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente a las rectas paralelas: \(2x + y -5 = 0\), \(2x + y +15 = 0\). \(B = (2, 1)\) es uno de los puntos de tangencia.
32. Hallar la ecuación de la recta que pasando por el punto \(P = (8, 6)\) intersecta a los ejes coordenados formando un triángulo de área 12 unidades cuadradas.
33. Determinar para que valores de \(k\) y de \(n\) las rectas:
    \[ kx - 2y - 3 = 0 \text{,} \quad 6x - 4y - n = 0 \]
    \[ \begin{aligned} &kx - 2y - 3 = 0 \text{,} \\[1em] &6x - 4y - n = 0 \end{aligned} \]
    1. Se intersecan en un único punto.
    2. Son perpendiculares.
    3. Son paralelas no coincidentes.
    4. Son coincidentes.
34. Determinar para que valores de \(k\) y de \(n\) las rectas:
    \[ kx + 8y + n = 0 \text{,} \quad 2x + ky - 1 = 0 \]
    \[ \begin{aligned} &kx + 8y + n = 0 \text{,} \\[1em] &2x + ky - 1 = 0 \end{aligned} \]
    1. Son paralelas no coincidentes.
    2. Son coincidentes.
    3. Son perpendiculares.
35. Un cuadrado tiene por centro \(C = (1, -1)\) y uno de sus lados está en la recta \(x-2y = -12\). Hallar las ecuaciones de las rectas que contienen a los otros lados.
36. Probar que los puntos \(A = (1, 4)\), \(B = (5, 1)\), \(C = (8, 5)\)   y   \(D = (4, 8)\) son los vértices de un rombo (cuadrilátero de lados de igual longitud). Verifique que las diagonales se cortan perpendicularmente.
37. Sean \(a\) y \(b\) la abscisa en el origen y la ordenada en el origen de una recta.

    Si \(a \neq 0\)   y   \(b \neq 0\), probar que una ecuación de esta recta es   \( \frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \).

38. Roberto está defiendo los colores de su club en un campeonato de billar.

    En determinado momento, él debe golpear con una bola blanca a la bola ocho con un tiro sin efecto y usando 2 bandas, como indica la figura.

    Si la bola blanca está en el punto \(P = (2, 6)\) y la bola ocho en \(Q = (3, 2)\), hallar los puntos \(A\)   y   \(B\) en los extremos de la mesa donde la bola debe tocar para que la jugada tenga éxito.

    

    Si la bola blanca está en el punto \(P = (2, 6)\) y la bola ocho en \(Q = (3, 2)\), hallar los puntos \(A\)   y   \(B\) en los extremos de la mesa donde la bola debe tocar para que la jugada tenga éxito.