Problemas Resueltos - Razonamiento matemático
Problema 146
Una progresión geométrica tiene como primer término, 2, y como tercer término, \( \frac{2}{9} \).
¿Cuales deben ser los valores de los parámetros \( p \) y \( q \) para que el cociente \( \frac{p}{q} \) sea el quinto término de la progresión?
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2 y 27
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2 y 81
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27 y 2
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4 y 27
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81 y 4
Intenta resolverlo antes de ver la respuesta...
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2 y 81
De acuerdo a la lección Progresiones Geométricas:
\[ a_3 = a_1 r^2 \Rightarrow r^2 = \frac{a_3}{a_1} \]En nuestro caso, \( a_1 = 2 \) y \( a_3 = \frac{2}{9} \). Luego:
\[ \begin{aligned} r^2 = \frac{ \frac{2}{9} }{ 2 } = \frac{2}{ 2 \times 9 } = \frac{1}{9} &\Rightarrow r = \sqrt{ \frac{1}{9} } \\[1em] &\Rightarrow r = \frac{1}{3} \end{aligned} \]Ahora,
\[ \begin{aligned} a_5 = a_1 r^4 &\Rightarrow \frac{p}{q} = 2 \left( \frac{1}{3} \right)^4 \\[1em] &\Rightarrow \frac{p}{q} = \frac{2}{81} \end{aligned} \]Por lo tanto, \( \boldsymbol{ p = 2 } \) y \( \boldsymbol{ q = 81 } \).