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Problema 68

En la figura \( \overline{AO} = 4 \). ¿Cual es el valor del área de la región sombreada?

  1. \( \pi \)

  2. \( 3\pi \)

  3. \( 2\pi \)

  4. \( 6\pi \)

  5. \( 4\pi \)

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  1. \( 4\pi \)

En efecto, sean:

  • \( A_{so} \): área de la región sombreada.
  • \(r\): radio del semicírculo.
  • \(r’\): radio del círculo interior.
  • \( A_{sc} \): área del semicírculo.
  • \( A_{ci} \): área del círculo interior.

Se tiene que:

\[ r= 4 \quad \text{ y } r’ = 2 \]

Además:

\[ \begin{aligned} A_{so} &= A_{sc} – A_{ci} \\[2em] &= \frac{\pi r^2}{2} – \pi r’^2 \\[2em] &= \frac{4^2 \pi}{2} – 2^2 \pi \\[2em] &= 8\pi – 4\pi = \boldsymbol{4\pi} \end{aligned} \]