Problema 68
En la figura \( \overline{AO} = 4 \). ¿Cual es el valor del área de la región sombreada?
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\( \pi \)
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\( 3\pi \)
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\( 2\pi \)
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\( 6\pi \)
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\( 4\pi \)
Intenta resolverlo antes de ver la respuesta...
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\( 4\pi \)
En efecto, sean:
- \( A_{so} \): área de la región sombreada.
- \(r\): radio del semicírculo.
- \(r’\): radio del círculo interior.
- \( A_{sc} \): área del semicírculo.
- \( A_{ci} \): área del círculo interior.
Se tiene que:
\[ r= 4 \quad \text{ y } r’ = 2 \]Además:
\[ \begin{aligned} A_{so} &= A_{sc} – A_{ci} \\[2em] &= \frac{\pi r^2}{2} – \pi r’^2 \\[2em] &= \frac{4^2 \pi}{2} – 2^2 \pi \\[2em] &= 8\pi – 4\pi = \boldsymbol{4\pi} \end{aligned} \]