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Problemas Resueltos - Razonamiento matemático

Problema 71

Para que los números \( 2^{n - 1} \), \( 5^{n - 1} \)   y   \( 7^{n - 1} \)   estén en progresión geométrica, el valor de \( n\) debe ser igual a:

  1. \( 0 \)

  2. \( 1 \)

  3. \( 2 \)

  4. \( 3 \)

  5. \( 4 \)

Intenta resolverlo antes de ver la respuesta...
  1. \( 1 \)

Según la lección Progresiones Geometricas, se debe cumplir que:

\( \boldsymbol{(1)} \hspace{2em} 5^{n-1} = 2^{n-1} r \)

y

\( \boldsymbol{(2)} \hspace{2em} 7^{n-1} = 2^{n-1} r^2 \)

Despejando \(r\) en \((1)\):

\[ \boldsymbol{(3)} \hspace{2em} r = \frac{5^{n-1}}{2^{n – 1}} \]

Reemplazando este valor en \((2)\):

\[ \begin{aligned} 7^{n – 1} = 2^{n-1} \left( \frac{5^{n-1}}{ 2^{n-1} } \right)^2 = 2^{n-1} \frac{ \left( 5^{n-1} \right)^2 }{ \left( 2^{n-1} \right)^2 } = \frac{ 5^{2(n-1)} }{ 2^{n-1} } &\Rightarrow 7^{n-1} = \frac{5^{2(n-1)}}{2^{n-1}} \\[2em] &\Rightarrow 7^{n-1} \cdot 2^{n-1} = 5^{2(n-1)} \\[2em] &\Rightarrow (7 \cdot 2)^{n – 1} = 5^{2(n-1)} \\[2em] &\Rightarrow (14)^{n-1} = 5^{2(n-1)} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} 7^{n – 1} &= 2^{n-1} \left( \frac{5^{n-1}}{ 2^{n-1} } \right)^2 \\[2em] &= 2^{n-1} \frac{ \left( 5^{n-1} \right)^2 }{ \left( 2^{n-1} \right)^2 } \\[2em] &= \frac{ 5^{2(n-1)} }{ 2^{n-1} } \\[2em] &\hspace{2em} \Rightarrow 7^{n-1} = \frac{5^{2(n-1)}}{2^{n-1}} \\[2em] &\hspace{2em} \Rightarrow 7^{n-1} \cdot 2^{n-1} = 5^{2(n-1)} \\[2em] &\hspace{2em} \Rightarrow (7 \cdot 2)^{n – 1} = 5^{2(n-1)} \\[2em] &\hspace{2em} \Rightarrow (14)^{n-1} = 5^{2(n-1)} \end{aligned} \]

Aplicando logaritmo (decimal) a la última igualdad:

\[ \boldsymbol{(4)} \quad (n-1) \log(14) = 2(n-1) \log(5) \]
\[ \begin{aligned} &\boldsymbol{(4)} \quad (n-1) \log(14) \\ &\hspace{5em} = 2(n-1) \log(5) \end{aligned} \]

En esta ecuación \((4)\), si \(n \neq 1\), entonces \( n – 1 \neq 0 \)   y podemos simplificar \( n – 1 \) para obtener \( \log(14) = 2 \log(5) = \log\left( 5^2 \right) = \log(25) \), lo cual es falso.

Por lo tanto, nos quedamos con \( \boldsymbol{n = 1} \).

Para verificar que \( n = 1\) es la respuesta correcta, vemos que:

\( 2^{n-1} = 2^0 = 1 \),

\( 5^{n-1} = 5^0 = 1 \),

\( 7^{n-1} = 7^0 = 1 \)

y, por \((3)\), \( r = 1 \)

Efectivamente, estos valores 1, 1 y 1 son los términos de una progresión geométrica de razón \( r = 1 \).

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