Problemas Resueltos - Razonamiento matemático
Problema 71
Para que los números \( 2^{n - 1} \), \( 5^{n - 1} \) y \( 7^{n - 1} \) estén en progresión geométrica, el valor de \( n\) debe ser igual a:
-
\( 0 \)
-
\( 1 \)
-
\( 2 \)
-
\( 3 \)
-
\( 4 \)
Intenta resolverlo antes de ver la respuesta...
-
\( 1 \)
Según la lección Progresiones Geometricas, se debe cumplir que:
\( \boldsymbol{(1)} \hspace{2em} 5^{n-1} = 2^{n-1} r \)
y
\( \boldsymbol{(2)} \hspace{2em} 7^{n-1} = 2^{n-1} r^2 \)
Despejando \(r\) en \((1)\):
\[ \boldsymbol{(3)} \hspace{2em} r = \frac{5^{n-1}}{2^{n – 1}} \]Reemplazando este valor en \((2)\):
Aplicando logaritmo (decimal) a la última igualdad:
En esta ecuación \((4)\), si \(n \neq 1\), entonces \( n – 1 \neq 0 \) y podemos simplificar \( n – 1 \) para obtener \( \log(14) = 2 \log(5) = \log\left( 5^2 \right) = \log(25) \), lo cual es falso.
Por lo tanto, nos quedamos con \( \boldsymbol{n = 1} \).
Para verificar que \( n = 1\) es la respuesta correcta, vemos que:
\( 2^{n-1} = 2^0 = 1 \),
\( 5^{n-1} = 5^0 = 1 \),
\( 7^{n-1} = 7^0 = 1 \)
y, por \((3)\), \( r = 1 \)
Efectivamente, estos valores 1, 1 y 1 son los términos de una progresión geométrica de razón \( r = 1 \).