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Problemas Resueltos - Razonamiento matemático

Problema 87

La sucesión \( -3, \, \frac{5}{3}, \, \frac{-7}{5}, \, \frac{9}{7}, \, \frac{-11}{9} \)   puede generarse a partir de la fórmula:

  1. \( -\frac{2n - 1}{2n - 3}; \, n = 2,3,4,5 \)

  2. \( \frac{2n + 1}{2n-1}; \, n = 0,1,2,3 \)

  3. \( \frac{2n + 1}{2n - 1}; \, 1,2,3,4 \)

  4. \( (-1)^n \frac{2n + 1}{2n - 1}; \, n = 0,1,2,3 \)

  5. \( (-1)^n \frac{2n + 1}{2n - 1}; \, n = 1,2,3,4 \)

Intenta resolverlo antes de ver la respuesta...
  1. \( (-1)^n \frac{2n + 1}{2n – 1}; \, n = 1,2,3,4 \)

En efecto:

\[ \begin{aligned} n = 1 &\Rightarrow (-1)^n \frac{2n + 1}{2n – 1} = (-1)^1 \frac{ 2(1) + 1 }{2(1) -1} \\[1em] &\hspace{8em}= -3 \\[2em] n = 2 &\Rightarrow (-1)^n \frac{2n +1}{2n – 1} = (-1)^2 \frac{ 2(2) + 1 }{2(2) – 1} \\[1em] &\hspace{8em}= \frac{5}{3} \\[2em] n = 3 &\Rightarrow (-1)^n \frac{2n + 1}{2n – 1} = (-1)^3 \frac{2(3) + 1}{2(3) – 1} \\[1em] &\hspace{8em}= -\frac{7}{5} \\[1em] &\hspace{8em}= \frac{-7}{5} \\[2em] n = 4 &\Rightarrow (-1)^n \frac{ 2m + 1 }{2n – 1} = (-1)^4 \frac{2(4) + 1}{2(4) – 1} \\[1em] &\hspace{8em}= \frac{9}{7} \\[2em] n = 5 &\Rightarrow (-1)^n \frac{2n + 1}{2n – 1} = (-1)^5 \frac{2(5) + 1}{2(5) – 1} \\[1em] &\hspace{8em}= -\frac{11}{9} = -\boldsymbol{ \frac{11}{9} } \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} n = 1 &\Rightarrow (-1)^n \frac{2n + 1}{2n – 1} = (-1)^1 \frac{ 2(1) + 1 }{2(1) -1} \\[1em] &\hspace{8em}= -3 \\[2em] n = 2 &\Rightarrow (-1)^n \frac{2n +1}{2n – 1} = (-1)^2 \frac{ 2(2) + 1 }{2(2) – 1} \\[1em] &\hspace{8em}= \frac{5}{3} \\[2em] n = 3 &\Rightarrow (-1)^n \frac{2n + 1}{2n – 1} = (-1)^3 \frac{2(3) + 1}{2(3) – 1} \\[1em] &\hspace{8em}= -\frac{7}{5} \\[1em] &\hspace{8em}= \frac{-7}{5} \\[2em] n = 4 &\Rightarrow (-1)^n \frac{ 2m + 1 }{2n – 1} = (-1)^4 \frac{2(4) + 1}{2(4) – 1} \\[1em] &\hspace{8em}= \frac{9}{7} \\[2em] n = 5 &\Rightarrow (-1)^n \frac{2n + 1}{2n – 1} = (-1)^5 \frac{2(5) + 1}{2(5) – 1} \\[1em] &\hspace{8em}= -\frac{11}{9} = -\boldsymbol{ \frac{11}{9} } \end{aligned} \]

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