Problema 95
Una persona origina un rumor contándole el mismo a cuatro colegas en un cuarto de hora. Al cabo de un cuarto de hora, cada uno de las personas le ha contado el rumor a otras cuatro. Si se repite este proceso cada cuarto de hora, el número de personas que tendran conocimiento del rumor luego de una hora y media es:
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5461
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4096
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1120
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1265
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1024
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- 5461
En hora y media hay 6 cuartos de hora. En el primer cuarto de hora le llegó el rumor a \(4\); en el segundo, \(4 \times 4 = 4^2\); en el tercero, \( 4^2 \times 4 = 4^3 \).
Así sucesivamente hasta el sexto, en el cual se enteran \( 4^6 \). El número total de personas que conocen del rumor es igual al inicial más la suma de los términos de la siguiente progresión geométrica:
\[ S_6 = 4 + 4^2 + 4^3 + 4^4 + 4^5 + 4^6 \]De acuerdo a la lección Progresiones Aritmeticas, tenemos que:
\[ \begin{aligned} S_6 &= \frac{ 1 – r^6 }{ 1 – r } a_1 \\[1em] &= \frac{ 1 – 4^6 }{1-4} (4) \\[1em] &= \frac{ 1 – 4096 }{-3}(4) \\[1em] &= 1365(4) = 5460 \end{aligned} \]A este número le sumamos la persona que originó el rumor y obtenemos:
\[ 5460 + 1 = \boldsymbol{5461} \text{ personas} \]