Sección 0.5. Operaciones con Expresiones Algebraicas
Sección 0.4. Radicales y Exponentes Racionales
0.4.1 (Teorema 0.4.1)
Probar las siguientes leyes de los radicales. ( sqrt[n]{a}sqrt[n]{b}=sqrt[n]{ab} ) ( sqrt[m]{sqrt[n]{a}}=sqrt[mn]{a} ) Solución: Sea (sqrt[n]{a}=c) y (sqrt[n]{b}=d). Luego, (a=c^{n}) y (b=d^{n}). Así, [ ab=c^{n}d^{n}=left(cdright)^{n} ] Por lo tanto, (sqrt[n]{ab}=cd=sqrt[n]{a}sqrt[n]{b}). Sea (sqrt[m]{sqrt[n]{a}}=b). Luego, (sqrt[n]{a}=b^{m}) y: [ a=left(b^{m}right)^{n}=b^{mn}Rightarrowsqrt[mn]{a}=b=sqrt[m]{sqrt[n]{a}} ]
0.3.2. (Teorema 0.3.1)
Probar las siguientes leyes de los exponentes. Si (a) y (b) son números reales, (aneq0) y (bneq0), y (m) y (n) enteros, entonces: (a^{n}a^{m}=a^{n+m}) (left(dfrac{a}{b}right)^{n}=dfrac{a^{n}}{b^{n}}) (left(dfrac{a}{b}right)^{-n}=left(dfrac{b}{a}right)^{n}) Solución: Ley 1. Caso 1. (n>0) y (m>0): [ a^{n}cdot a^{m}=underset{n text{ factores}}{underbrace{acdot acdots a}},underset{m text{ factores}}{underbrace{acdot acdots a}}=underset{n+m text{ factores}}{underbrace{acdot acdots a}}=a^{n+m} ] (begin{aligned}a^{n}cdot a^{m} &=underset{n text{ factores}}{underbrace{acdot […]
0.3.1. (Nota 0.3.1)
Mostrar que si establecemos que (0^{0}=1), entonces tendríamos la inconsistencia (left(frac{1}{0}right)^{0}=1), ya que la división entre cero no está definida. Solución: [ 1=dfrac{1}{1}=dfrac{1^{0}}{0^{0}}=left(dfrac{1}{0}right)^{0} ]
Sección 0.3. Exponentes Enteros
Sección 0.2. El Sistema de los Números Reales
(6); (sqrt[3]{27}); (sqrt{16}) (6); (-11); (sqrt[3]{27}); (0); (sqrt{16}); (-sqrt[3]{8}) (frac{2}{3}); 6; -2,45; (18,overline{4}); -11; (sqrt[3]{27});(3+frac{1}{2}); (-cfrac{6}{5}); 0; (sqrt{16});(-sqrt[3]{8}); (0.714285714285ldots) (sqrt{3}); (sqrt{2}); (7.151551555ldots); (-sqrt{8}); (pi) Todos. 2; 5 -6; 2; 5 -6; (frac{5}{2}); (-1,333ldots); 2; 5 (pi) Todos. Falso, porque los números reales están formados por la unión de los números racionales y los números […]
Cal. Diferencial Sec. 4.7
Método de Newton-Raphson En los problemas del 1 al 6, mediante un esbozo de la función correspondiente, deducir que las ecuaciones dadas tienen una única raíz. Mediante el método de Newton-Raphson, hallar una aproximación a esta raíz con seis cifras decimales. [ x^3 – 4x^2 + 2 =0 ] [ x^3 – 6x^2 + 9x […]
Cal. Diferencial Sec. 4.6
Problemas de optimización (Area Máxima). Hallar las dimensiones de un rectángulo de (72 , m). de perímetro que encierra un área máxima. (Area Máxima). Probar que entre todos los rectángulos de perímetro fijo, el que encierra un área máxima es el cuadrado. (Area Máxima). Se quiere cercar un terreno rectangular que está a las orillas […]
Cal. Diferencial Sec. 4.5
Trazado cuidadoso del gráfico de una función Graficar las siguientes funciones: [ f(x) = x^3 – 6x^2 + 9x + 1 ] [ f(x) = x^4 – 2x^2 + 1 ] [ f(x) = 2x + 5x^{2/5} ] [ f(x) = cfrac{8x}{x^2 + 1} ] [ f(x) = cfrac{x}{ (x – 1)^{1/3} } ] [ […]