Cal. Diferencial Sec. 1.7

Limites en el infinito y asíntotas horizontales

En los problemas del 1 al 9 calcular: \( \boldsymbol{ \lim\limits_{ x \rightarrow +\infty} f(x)} \)   y   \(\boldsymbol{ \lim\limits_{ x \rightarrow -\infty} f(x) }\).

1. \[ f(x) = \frac{1}{x^2} \]
2. \[ f(x) = \frac{-1}{x^3} \]
3. \[ f(x)=\frac{x+2}{x-3} \]
4. \[ (x)=\frac{x^2}{x + 2} \]
5. \[ f(x) = \frac{x^3 - 8}{ 2x^3 - 3x^2 + 1 } \]
6. \[ f(x) = x^5 - 4x^4 \]
7. \[ f(x) = -2x^6 + 5x^5 \]
8. \[ f(x) = \frac{x + 1}{ x } \]
9. \[ f(x) = x^2 - \frac{1}{x} \]

En los problemas del 10 al 31 calcular el límite indicado.

10. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow +\infty} \left( x + \sqrt{x} \right) \]
11. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow +\infty} \left( x - \sqrt{x} \right) \]
12. \[ \lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{x} + 1}{ \sqrt{x+1} } \]
13. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{x} + 1}{ x + 1 } \]
14. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow +\infty} \frac{x}{\sqrt{x - 1}} \]
15. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow -\infty} \frac{\sqrt[3]{ -8x^3 + x + 1 }}{ x - 1 } \]
16. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow +\infty} \left( \sqrt{x + 1} - \sqrt{x} \right) \]
17. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow -\infty} \left( \sqrt{x^2 + 2x} - x \right) \]
18. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow +\infty} x \left( \sqrt{x^2 + 5} - x \right) \]
19. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow +\infty} \left( x + \sqrt[3]{ 1 -x^3} \right) \]
20. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow +\infty} \frac{2x}{\sqrt{ x^2 + 1 }} \]
21. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow -\infty} \frac{2x}{ \sqrt{ x^2 + 1 } } \]
22. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow +\infty} \frac{\sqrt{ x } }{ \sqrt{ 4x + \sqrt{ x + \sqrt{x} } } } \]
23. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow +\infty} x^{-1/2} \text{sen } x \]
24. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow +\infty} \text{sen } \left( \frac{1}{x} + \frac{\pi}{6} \right) \]
25. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow +\infty} \left( \text{sen } \sqrt{x + 2} - \text{sen } \sqrt{x} \right) \]
26. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow +\infty} \frac{\mathrm{e}^{2x} }{ \mathrm{e}^{2x} + 1 } \]
27. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow -\infty} \frac{ \mathrm{e}^{3x} - \mathrm{e}^{-3x} } { \mathrm{e}^{3x} + \mathrm{e}^{-3x} } \]
28. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow +\infty} \frac{10^x}{ 10^x + 1 } \]
29. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow +\infty} \left( 2^{-0.6x} + \frac{1}{x} \right) \]
30. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow +\infty} \ln \left( 1 + \mathrm{e}^{-x^2} \right) \]
31. \[ \lim\limits_{ x \rightarrow +\infty} \left[ \ln (2+x) - \ln (1 + x) \right] \]

32. Sea la función racional:

    \[ f(x) = \frac{ a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0 }{ b_m x^m + \ldots + b_1 x + b_0 }, \quad a_n \neq 0 \quad \text{ y } \quad b_m \neq 0 \]
    \[ \begin{aligned} &f(x) = \frac{ a_n x^n + \ldots + a_1 x + a_0 }{ b_m x^m + \ldots + b_1 x + b_0 }, \\[1em] &\hspace{2em} a_n \neq 0 \quad \text{ y } \quad b_m \neq 0 \end{aligned} \]

    1. Si \(n = m\), probar que:   \(\lim\limits_{ x \rightarrow \pm\infty} f(x) = \cfrac{a_n}{b_m} \)

    2. Si \(n < m\), probar que:   \(\lim\limits_{ x \rightarrow \pm\infty} f(x) = 0 \)

    3. Si \(n > m\), probar que:

       \[ \lim\limits_{ x \rightarrow +\infty} f(x) = \begin{cases} +\infty, \text{ si } \frac{a_n}{b_m} > 0 \\[.5em] -\infty, \text{ si } \frac{a_n}{b_m} < 0 \end{cases} \]

33. Dar una definición rigurosa de:

    1. \[ \lim_{ x \rightarrow +\infty} f(x) = +\infty \]
    2. \[ \lim_{ x \rightarrow -\infty} f(x) = +\infty \]
    3. \[ \lim_{ x \rightarrow +\infty} f(x) = -\infty \]
    4. \[ \lim_{ x \rightarrow -\infty} f(x) = -\infty \]

34. Probar que todo polinomio de grado impar tiene una raíz (real).

    Sugerencia: Hallar los límites en \(+\infty\)   y en   \(-\infty\).

En los problemas del 35 al 41 hallar las asíntotas horizontales del gráfico de la función dada.

35. \[ f(x) = \frac{1}{x-1} \]
36. \[ g(x) = \frac{1}{x (x + 2)} \]
37. \[ g(x) = \frac{x}{ 4x^2 - 1 } \]
38. \[ f(x) = \frac{2x}{ \sqrt{x^2 + 1} } \]
39. \[ g(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}} \]
40. \[ h(x) = \frac{x^2}{ \sqrt{x^2 - 1} } \]
41. \[ f(x) = \frac{\text{sen } x}{ x } \]

En los problemas del 42 al 44 hallar las asíntotas verticales y horizontales del gráfico de la ecuación dada.

42. \[ 2x^2 + yx^2 = 16y \]
43. \[ (y^2 - 4)(x -1) = 8 \]
44. \[ x^2y^2 = 2y^2 + x^2 + 1 \]