Cal. Diferencial Sec. 2.2

Técnicas básicas de derivación

En los problemas del 1 al 38, hallar la derivada de la función indicada. Las letras \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\), \(\boldsymbol{c}\) y \(\boldsymbol{d}\) son constantes.

\[ y = 4x^2 - 6x +1 \]
\[ y = 1 - \frac{x}{3} + \frac{x^6}{6} \]
\[ y = 0.5 x^4 - 0.3 x^2 + 2.5x \]
\[ u = v^{10} - \frac{3v^8}{4} + 0.4 v^3 + 0.1 \]
\[ s = 2t^{-5} + \frac{t^3}{3} - 0.3t^{-2} \]
\[ z = \frac{1}{3y} - \frac{3}{y^2} + 2 \]
\[ f(x) = 3x^{5/6} - 4x^{-2/3} - 10 \]
\[ g(x) = a x^5 - b x^{-4} + c x^{3/2} + d \]
\[ y = -\frac{2x^6}{3a} \]
\[ z = \frac{x^3}{a+b} + \frac{x^5}{a-b} - x \]
\[ z = \frac{ t^3 - bt^2 - 3 }{6} \]
\[ y = 4\sqrt{x} - \frac{3}{2x^2} + \sqrt{3} \]
\[ z = \sqrt[3]{t} - \frac{1}{\sqrt[3]{t}} \]
\[ u = \frac{\sqrt{3}}{ 2\sqrt{x} } - \frac{5}{ 3\sqrt[3]{x^2} } + \sqrt[3]{3} \]
\[ y = \left( 5x^4 - 4x^5 \right) \left( 3x^2 + 2x^3 \right) \]
\[ y = x^3 \mathrm{e}^x \]
\[ y = \sqrt{x} \mathrm{e}^x \]
\[ y = x^{ \mathrm{e} } + \mathrm{e}^x \]
\[ y = (x - 1)(x - 2)(x - 3) \]
\[ y = \frac{1}{3} \left( 2x^3 -1 \right)\left( 3x^2 - 2 \right)(6x-5) \]
\[ z = \sqrt{t} \left( t^4 -1 \right) \left( t^6 - 2 \right) \]
\[ y = \left( \sqrt{x} - 1 \right) \left( \sqrt{x} + 1 \right) \]
\[ u = 2 \sqrt{x} \left( x^2 - \sqrt{x} + \sqrt{5} \right) \]
\[ y = \left( \sqrt{x} - 3 \right) \left( \frac{2}{x} - 1 \right) \]
\[ y = \frac{3}{x-9} \]
\[ y = \frac{x}{x-8} \]
\[ y = \frac{x+3}{x-3} \]
\[ z = \frac{t}{t^2 + 1} \]
\[ u = \frac{2 t^3 + 1}{t-1} \]
\[ y = \frac{ x^3 - 2x }{ x^2 + x + 1 } \]
\[ y = \frac{ ax^2 + bx + c}{x} \]
\[ y = \frac{ ax^2 + bx + c }{ \sqrt{x} } \]
\[ y = \frac{ a x^2 + b }{ \sqrt{a^2 + b^2} } \]
\[ y = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} - (x-1) \left( x^2 -1 \right) \]
\[ y = \frac{1}{(x-1)(x-3)} \]
\[ y = \frac{1 - \sqrt{x}}{ 1 + 2\sqrt{x} } \]
\[ y = \frac{1 - \sqrt[3]{x}}{1 + \sqrt[3]{x}} \]
\[ y = \frac{ \mathrm{e}^x - 1 }{ \mathrm{e}^x + 1 } \]

En los problemas del 39 al 42, hallar la recta tangente al gráfico de la función en el punto especificado.

\[ y = x^4 - 3x^2 + x - 2,\; (1,\, -3) \]
\[ y = x^2(x - 5),\; (2,\, -12) \]
\[ f(x) = \frac{ x^2 - 2 }{ x^2 - 3 }, \; \left( -1, \frac{1}{2} \right) \]
\[ g(x) = \frac{x^3}{ 2a - x }, \; (a, \, a^2) \]
Hallar el punto en la parábola \(y = 3x^2 - 2x - 1\) en el cual la recta tangente es horizontal (paralela al eje X).
Hallar la recta tangente horizontal a la curva \(y = \frac{\mathrm{e}^x}{x}\).
Hallar la recta tangente horizontal a la curva \(y = \frac{ \mathrm{e}^x } { 1 + x^2 }\).
Hallar los puntos del gráfico de la función \(f(x) = \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{2} x^2 - 6x - \frac{7}{2}\) en los cuales la recta tangente es horizontal (paralela al eje X).
Hallar la tangente al gráfico de \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 5\) que es paralela a la recta: \(3x + y - 1 = 0\).
Hallar la tangente al gráfico de \(g(x) = \sqrt{x} + 2\) que es perpendicular a la recta: \(2x + y + 8 = 0\).
Hallar la parábola \(y = ax^2 + bx\) que tenga a \((2, -12)\) como punto más bajo.
Hallar la parábola \(y = ax^2 + bx\) que tenga a \((4, 16)\) como punto más alto.
Hallar la parábola \(y = x^2 + bx + c\) que es tangente a la recta \(2x + y + 7 = 0\) en el punto \((-2, -3)\).

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Respuestas

\[ y’ = 8x – 6 \]
\[ y’ = -\frac{1}{3} + x^5 \]
\[ y’ = 2x^3 – 0.6x + 2.5 \]
\[ u’ = 10 v^9 – 6v^7 + 1.2 v^2 \]
\[ s’ = -10t^{-6} + t^2 + 0.6 t^{-3} \]
\[ z’ = -\frac{1}{3y^2} + \frac{6}{y^3} \]
\[ f'(x) = \frac{5}{2} x^{-\frac{1}{6}} + \frac{8}{3} x^{ -\frac{5}{3} } \]
\[ g'(x) = 5 a x^4 + 4bx^{-5} + \frac{3}{2} c x^{\frac{1}{2}} \]
\[ y’ = -\frac{4 x^5}{a} \]
\[ z’ = \frac{ 3 x^2 }{a + b} + \frac{ 5 x^4 }{a – b} – 1 \]
\[ z’ = \frac{1}{2} t^2 – \frac{1}{3} bt \]
\[ y’ = \frac{2}{ \sqrt{x} } + \frac{3}{ x^3 } \]
\[ z’ = \frac{ 1 }{ 3 \sqrt[3]{ t^2 } } + \frac{ 1 }{ 3 t \sqrt[3]{t} } \]
\[ u’ = -\frac{ \sqrt{3} }{ 4 x \sqrt{x} } + \frac{ 10 }{ 9x\sqrt[3]{ x^2 } } \]
\[ y’ = -64 x^7 – 14 x^6 + 90 x^5 \]
\[ y’ = \left( x^3 + 3x^2 \right) \mathrm{e}^x \]
\[ y’ = \left( \sqrt{x} + \frac{ 1 }{ 2 \sqrt{x} } \right) \mathrm{e}^x \]
\[ y’ = \mathrm{e} x^{ \mathrm{e} – 1 } + \mathrm{e}^x \]
\[ y’ = 3 x^2 – 12x + 11 \]
\[ 72x^5 – 50x^4 – 32 x^3 + 2x^2 + 10x + 4 \]

\[ \begin{aligned} 72x^5 – 50x^4 – 32 x^3 + 2x^2 &+ 10x \\[.5em] &+ 4 \end{aligned} \]
\[ z’ = \frac{1}{2 \sqrt{t}} \left( 21 t^{10} – 13 t^6 – 18 t^4 + 2 \right) \]
\[ y’ = 1 \]
\[ u’ = 5x \sqrt{x} + \frac{\sqrt{5}}{ \sqrt{x} } – 2 \]
\[ y’ = -\frac{1}{2 \sqrt{x}} – \frac{1}{ x \sqrt{x}} + \frac{6}{x^2} \]
\[ y’ = – \frac{3}{(x – 9)^2} \]
\[ y’ = – \frac{8}{(x – 8)^2} \]
\[ y’ = -\frac{ 6 }{ (x – 3)^2 } \]
\[ z’ = \frac{ 1 – t^2 }{ \left( t^2 + 1 \right)^2 } \]
\[ u’ = \frac{ 4t^3 – 6 t^2 – 1 }{(t – 1)^2} \]
\[ y’ = \frac{ x^4 + 2 x^3 + 5x^2 – 2 }{ \left( x^2 + x + 1 \right)^2 } \]
\[ y’ = \frac{ a x^2 – c }{x^2} \]
\[ y’ = \frac{ 3 a x^2 + bx – c }{ 2x \sqrt{x} } \]
\[ y’ = \frac{ 2ax }{\sqrt{ a^2 + b^2 }} \]
\[ y’ = -\frac{ 4x }{ \left( x^2 – 1 \right)^2 } – 3x^2 + 2x + 1 \]
\[ y’ = – \frac{2 (x – 2)}{ (x – 1)^2(x – 3)^2 } \]
\[ y’ = \frac{-3}{ 2 \sqrt{x} \left( 1 + 2 \sqrt{x} \right)^2 } \]
\[ y’ = \frac{ -4 }{ 3 \sqrt[3]{ x^2 } \left( 1 + 3 \sqrt[3]{x} \right)^2 } \]
\[ y’ = \frac{ 2 \mathrm{e}^x }{ \left( \mathrm{e}^x + 1 \right)^2 } \]
\[ x + y + 2 = 0 \]
\[ 8x + y – 4 = 0 \]
\[ x – 2y + 2 = 0 \]
\[ -4ax + y + 3a^2 = 0 \]
\[ \left( \frac{1}{3},\, -\frac{4}{3} \right) \]
\[ y = \mathrm{e} \]
\[ y = \frac{ \mathrm{e} }{2} \]
\[ \left( 2, \, -\frac{65}{6} \right), \; (-3, \, 10) \]
\[ 3x + y + 4 = 0 \]
\[ -x + 2y – 5 = 0 \]
\[ y = 3 x^2 – 12 x \]
\[ y = -x^2 + 8x \]
\[ y = x^2 + 2x – 3 \]