Buscar
Cerrar este cuadro de búsqueda.
Buscar
Cerrar este cuadro de búsqueda.

Cal. Diferencial Sec. 4.5

Cálculo Diferencial

Trazado cuidadoso del gráfico de una función

Graficar las siguientes funciones:

  1. \[ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \]
  2. \[ f(x) = x^4 - 2x^2 + 1 \]
  3. \[ f(x) = 2x + 5x^{2/5} \]
  4. \[ f(x) = \cfrac{8x}{x^2 + 1} \]
  5. \[ f(x) = \cfrac{x}{ (x - 1)^{1/3} } \]
  6. \[ f(x) = \cfrac{ 3 x^2 }{ x^2 + 1 } \]

  7. \(f(x) = \text{ sen } x + \sqrt{3} \cos x\),   en el intervalo \([-\pi, \, \pi]\) (\(f\) es periódica con periodo \(2\pi\)).

Graficar las siguientes funciones. Ellas tienen asíntotas oblicuas.

  1. \[ f(x) = \cfrac{ x^2 - 3x + 6 }{x-2} \]
  2. \[ f(x) = \cfrac{(x-1)^3}{x^2} \]
  3. \[ f(x) = x^{2/3} (6 - x)^{1/3} \]
  4. \[ x \mathrm{e}^{ \frac{1}{x^2} } \]

Respuestas

  1.  

    1. \(\mathbb{R}\)

    2. Ninguna

    3. Eje Y:   \((0,1)\).

      Eje X:   aproximadamente \((-0.104, \, 0)\)

    4. Sin asíntotas

    5. Máx. local:   \(f(1) = 5\),  

      mín. local:   \(f(3) = 1\)

    6. Cóncava h. abajo: \((-\infty, 2]\).

      Cóncava h. arriba: \([2, +\infty)\).

      Pto. inflexion: \((2, 3)\)

  2.  

    1. \(\mathbb{R}\)

    2. Ninguna

    3. \((0,\, 1)\),   \((-1, \, 0)\),   \((1, \, 0)\)

    4. Sin asíntotas

    5. Máx. local: \(f(0) = 1\),

      mín. local: \(f(-1) = 0\)

    6. Cóncava h. arriba: \(\left( -\infty, -\frac{\sqrt{3}}{3} \right]\)   y   \(\left[ \frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty \right)\),

      cóncava h. abajo: \(\left[ -\frac{\sqrt{3}}{3}, \, \frac{ \sqrt{3} }{3} \right]\).

      Ptos. inflexión: \(\left( -\frac{\sqrt{3}}{3}, \, \frac{4}{9} \right)\)   y   \(\left( \frac{\sqrt{3}}{3}, \, \frac{4}{9} \right)\)

    1. Cóncava h. arriba: \(\left( -\infty, -\frac{\sqrt{3}}{3} \right]\)   y   \(\left[ \frac{\sqrt{3}}{3}, +\infty \right)\),

      cóncava h. abajo: \(\left[ -\frac{\sqrt{3}}{3}, \, \frac{ \sqrt{3} }{3} \right]\).

      Ptos. inflexión: \(\left( -\frac{\sqrt{3}}{3}, \, \frac{4}{9} \right)\)   y   \(\left( \frac{\sqrt{3}}{3}, \, \frac{4}{9} \right)\)

  3.  

    1. \(\mathbb{R}\)

    2. Ninguna

    3. \((0, \, 0)\),   \((-4.6, \, 0)\),   \((0, \, 0)\)

    4. Sin asíntotas

    5. Máx. local: \(f(-1) = 3\),

      mín. local: \(f(0) = 0\)

    6. Cóncava h. abajo: \((-\infty, \, 0]\)   y   \([0, \, +\infty)\)

    1. Cóncava h. abajo: \((-\infty, \, 0]\)   y   \([0, \, +\infty)\)

  4.  

    1. \(\mathbb{R}\)

    2. Simetría respecto al origen

    3. \((0, \, 0)\)

    4. Asíntotas: \(y = 0\)

    5. \(f'(x) = – \cfrac{ 8 (x + 1) ( x – 1 ) }{ \left( x^2 + 1 \right)^2 }\),

      Mín. local: \(f(-1) = -4\),

      máx. local: \(f(1) = 4\)

    6. \(f»(x) = \cfrac{ 16x \left( x^2 – 3 \right) }{ \left( x^2 + 1 \right)^3 }\),

      cóncava h. abajo: \(( -\infty, \, -\sqrt{3}]\)   y   \([0, \, \sqrt{3})\)

      cóncava h. arriba: \(\left[ -\sqrt{3}, \, 0 \right]\)   y   \(\left[ \sqrt{3}, \, +\infty \right)\)

      Pto. de inflexión: \(\left( -\sqrt{3}, \, -2\sqrt{3} \right)\),   \((0, \, 0)\),   \(\left( \sqrt{3}, \, 2\sqrt{3} \right)\)

    1. \(f»(x) = \cfrac{ 16x \left( x^2 – 3 \right) }{ \left( x^2 + 1 \right)^3 }\),

      cóncava h. abajo: \(( -\infty, \, -\sqrt{3}]\)   y   \([0, \, \sqrt{3})\)

      cóncava h. arriba: \(\left[ -\sqrt{3}, \, 0 \right]\)   y   \(\left[ \sqrt{3}, \, +\infty \right)\)

      Pto. de inflexión: \(\left( -\sqrt{3}, \, -2\sqrt{3} \right)\),   \((0, \, 0)\),   \(\left( \sqrt{3}, \, 2\sqrt{3} \right)\)

  5.  

    1. Dom\((f) = \mathbb{R} – \{ 1 \}\) \(= (-\infty, \, 1) \cup (1, \, +\infty)\)

    2. Ninguna simetría

    3. Solo en \((0, \, 0)\)

    4. Asíntota vertical: \(x = 1\)

    5. \(f’ (x) = \cfrac{ 2x – 3 }{ 3 (x – 1)^{\frac{4}{3}} }\),

      mín local: \(f \left( \frac{3}{2} \right)\) \()= \frac{3}{ \sqrt[3]{4} }\) \(\approx 1.9\)

    6. \(f» (x) = \cfrac{ 2 (3 – x) }{ 9 (x – 1)^{\frac{7}{3}} }\),

      Cóncava h. abajo: \((-\infty, \, 1)\)   y   \([ 3, \, +\infty )\),

      cóncava h. arriba: \((1, \, 3]\).

      Pto. inflexión: \(\left( 3, \, 3 \sqrt[3]{2} \right)\) \(\approx (3, \, 2.4)\)

    1. \(f’ (x) = \cfrac{ 2x – 3 }{ 3 (x – 1)^{\frac{4}{3}} }\),

      mín local: \(f \left( \frac{3}{2} \right)\) \()= \frac{3}{ \sqrt[3]{4} }\) \(\approx 1.9\)

    2. \(f» (x) = \cfrac{ 2 (3 – x) }{ 9 (x – 1)^{\frac{7}{3}} }\),

      Cóncava h. abajo: \((-\infty, \, 1)\)   y   \([ 3, \, +\infty )\),

      cóncava h. arriba: \((1, \, 3]\).

      Pto. inflexión: \(\left( 3, \, 3 \sqrt[3]{2} \right)\) \(\approx (3, \, 2.4)\)

  6.  

    1. Dom\((f) = \mathbb{R}\)

    2. Simetría respecto al eje Y

    3. Solo en \((0, \, 0)\)

    4. Asíntota horizontal: \(y = 3\)

    5. \(f'(x) = \cfrac{ 6x }{ \left( x^2 + 1 \right)^2 }\),

      Mín. local: \(f(0) = 0\)

    6. \(f»(x) = \cfrac{ 6 \left( 1 – 3x^2 \right) }{ \left( x^2 + 1 \right)^3 }\),

      cóncava h. abajo: \(\left( -\infty, \, -\frac{\sqrt{3}}{3} \right)\)   y   \(\left( \frac{\sqrt{3}}{3}, \, +\infty \right)\),

      cóncava h. arriba: \(\left( -\frac{\sqrt{3}}{3}, \, \frac{\sqrt{3}}{3} \right)\).

      Pto. inflexión: \(\left( -\frac{\sqrt{3}}{3}, \, \frac{3}{4} \right)\)   y   \(\left( \frac{\sqrt{3}}{3}, \, \frac{3}{4} \right)\)

    1. \(f»(x) = \cfrac{ 6 \left( 1 – 3x^2 \right) }{ \left( x^2 + 1 \right)^3 }\),

      cóncava h. abajo: \(\left( -\infty, \, -\frac{\sqrt{3}}{3} \right)\)   y   \(\left( \frac{\sqrt{3}}{3}, \, +\infty \right)\),

      cóncava h. arriba: \(\left( -\frac{\sqrt{3}}{3}, \, \frac{\sqrt{3}}{3} \right)\).

      Pto. inflexión: \(\left( -\frac{\sqrt{3}}{3}, \, \frac{3}{4} \right)\)   y   \(\left( \frac{\sqrt{3}}{3}, \, \frac{3}{4} \right)\)

  7.  

    1. Dom\((f) = [-\pi, \, \pi ]\)

    2. Ninguna simetría

    3. Eje Y: \((0, \, \sqrt{3})\),   eje X: \(\left( – \frac{\pi}{3}, \, 0 \right)\)   y   \(\left( \frac{2\pi}{3}, \, 0 \right)\)

    4. Sín asíntotas

    5. Mín. local: \(f \left( -\frac{5\pi}{6} \right) = -2\),

      máx. local: \(f \left( \frac{\pi}{6} \right) = 2\)

    6. Cóncava h. arriba: \(\left[ -\pi, \, -\frac{\pi}{3} \right]\)   y   \(\left[ \frac{2\pi}{3}, \, \pi \right]\),

      cóncava h. abajo: \(\left[ -\frac{\pi}{3}, \, \frac{2\pi}{3} \right]\).

      Pto. de inflexión: \(\left( -\frac{\pi}{3}, \, 0 \right)\)   y   \(\left( \frac{2\pi}{3}, \, 0 \right)\)

    1. Cóncava h. arriba: \(\left[ -\pi, \, -\frac{\pi}{3} \right]\)   y   \(\left[ \frac{2\pi}{3}, \, \pi \right]\),

      cóncava h. abajo: \(\left[ -\frac{\pi}{3}, \, \frac{2\pi}{3} \right]\).

      Pto. de inflexión: \(\left( -\frac{\pi}{3}, \, 0 \right)\)   y   \(\left( \frac{2\pi}{3}, \, 0 \right)\)

  8.  

    1. Dom\((f) = \mathbb{R} – \{ 2 \}\)

    2. Ninguna simetría

    3. Eje Y: \((0, \, -3)\)

    4. Asíntota vertical: \(x = 2\),

      Asíntota oblicua: \(y = x-1\)

    5. Máx. local: \(f(0) = -3\),

      mín. local: \(f(4) = 5\)

    6. Cóncava h. abajo: \((-\infty, \, 2)\),

      cóncava h. arriba: \((2, \, +\infty)\)

      Sin pto. de inflexión

  9.  

    1. Dom\((f) = \mathbb{R} – \{ 0 \}\)

    2. Ninguna simetría

    3. Eje X: \((1, \, 0)\)

    4. Asín. vertical: \(x = 0\),

      Asín. oblicua: \(y = x – 3\)

    5. \(f'(x) = \cfrac{ (x – 1)^2 (x + 2) }{x^3}\)

      Máx. local: \(f(-2) = -\frac{27}{4}\),

      mín. local: no tiene

    6. Cóncava hacia abajo: \((-\infty, \, 0)\)   y   \((0, \, 1]\)

      Cóncava h. arriba: \([1,+\infty)\).

      Pto. inflexión: \((1,0)\)

  10.  

    1. Dom\((f) = \mathbb{R}\)

    2. Nínguna simetría

    3. Eje Y: \((0,0)\). Eje X: \((0,0)\)   y   \((6,0)\)

    4. Asíntota oblicua: \(y = -x + 2\)

    5. \(f'(x) = \cfrac{ 4 – x }{ x^{\frac{1}{3}} (6 – x)^{ \frac{2}{3} } }\),

      Mín. \(f(0) = 0\),

      máx. local: \(f(4) = 2 \sqrt[3]{4}\) \(\approx 3.17\)

    6. Cóncava h. arriba: \([6, \, +\infty)\)

      Pto. inflexión: \((6, \, 0)\)

    1. \(f'(x) = \cfrac{ 4 – x }{ x^{\frac{1}{3}} (6 – x)^{ \frac{2}{3} } }\),

      Mín. \(f(0) = 0\),

      máx. local: \(f(4) = 2 \sqrt[3]{4}\) \(\approx 3.17\)

    2. Cóncava h. arriba: \([6, \, +\infty)\)

      Pto. inflexión: \((6, \, 0)\)

  11.  

    1. Dom\((f) = \mathbb{R} – \{ 0 \}\)

    2. Simetría respecto al origen

    3. No hay intersección

    4. Asín. vertical: \(x=0\),

      asín. oblicua: \(y = x\)

    5. \(f'(x) = \cfrac{1}{x^2} \mathrm{e}^{ \frac{1}{x^2} } \left( x + \sqrt{2} \right) \left( x – \sqrt{2} \right)\),

      Máx. local: \(f \left( -\sqrt{2} \right)\) \(= -\sqrt{2} \mathrm{e}^{\frac{1}{2}}\) \(\approx -2.33\)

      mín. local: \(f \left( \sqrt{2} \right)\) \(= \sqrt{2} \mathrm{e}^{\frac{1}{2}}\) \(\approx 2.33\)

    6. Cóncava hacia abajo: \((-\infty, \, 0)\)

      Cóncava h. arriba: \((0, \, +\infty)\).

      No hay pto. inflexión

    1. \(f'(x) = \cfrac{1}{x^2} \mathrm{e}^{ \frac{1}{x^2} } \left( x + \sqrt{2} \right) \left( x – \sqrt{2} \right)\),

      Máx. local: \(f \left( -\sqrt{2} \right)\) \(= -\sqrt{2} \mathrm{e}^{\frac{1}{2}}\) \(\approx -2.33\)

      mín. local: \(f \left( \sqrt{2} \right)\) \(= \sqrt{2} \mathrm{e}^{\frac{1}{2}}\) \(\approx 2.33\)

    2. Cóncava hacia abajo: \((-\infty, \, 0)\)

      Cóncava h. arriba: \((0, \, +\infty)\).

      No hay pto. inflexión

Logo Hipotenusa
Acerca de Nosotros
Pólitica de Privacidad
Contacto

@hipotenusaonline

Hipotenusa 2024

“Aprende todo lo necesario para que tu vida sea más feliz”

Pitágoras