Sección 4.8. Aplicaciones de funciones

Precálculo Para Todos

Sección 4.8. Aplicaciones de funciones

Respuestas ✓

1. $127,020$
2. $5,127 \%$
1. $\$ 15,809.88$
2. $22.12 \%$
1. $18$ millones
2. $24.3$ millones
3. $2.02 \%$
\[ 108,000 \]
$6.75$ millones
\[ 6,351 \, gr \]
\[ 280.93 \, gr \]
$64,000$ millones
\[ 1,476.28\; lib/pie^2 \]
1. $81.87 \%$
2. $67.03\%$
3. $14.84\%$
1. $12$ miles
2. $15,841$
1. $980$ miles
2. $\$ 485,889.27$

$3,924$ años
$2.32$ horas
$4$ años
$29.54$ meses
$2,554$ libros
$81,666,666$ millones
$29.5$ años
$11,460$ años
1. $11,700,000$
2. $12,288,000$
3. $12,886,396$
4. $13,045,843.42$
5. $ 13,130,043 $
1. $1,140,967.37$
2. $1,123,322.4$
\[ \$ 3,173,350,575 \]
1. $4,792$ años
2. $4,621$ años
1. $7,595$ años
2. $7,324$ años

Enunciados

(Población). La población de una ciudad, $t$ años después del año 2000, es la siguiente:

\[ P(t)= 60,000\, \mathrm{e}^{0.05t} \text{ habitantes} \]
1. Calcular la población de la ciudad en el año 2015.
2. Hallar el porcentaje anual de crecimiento de la población.
(Depreciación). El valor de una maquinaria, al transcurrir $t$ años de comprada, es el siguiente:

\[ V(t) = A\,\mathrm{e}^{-0.25t} \]

La máquina fue comprada hace 9 años por $\$ 150,000$
1. ¿Cuál es su valor actual?
2. ¿Cuál es el porcentaje anual de declinación de su valor?
(Población). Se sabe que dentro de $t$ años la población de cierto país será la siguiente:

\[ P(t) = 18\,\mathrm{e}^{0.02t} \text{ millones de habitantes.} \]

\[ \begin{aligned} P(t) = 18\,\mathrm{e}^{0.02t} &\text{ millones} \\[.5em] &\text{ de habitantes.} \end{aligned} \]
1. ¿Cuál es la población actual del país?
2. ¿Cuál será su población dentro de 15 años?
3. ¿Cuál es el porcentaje anual de crecimiento de la población?
(Crecimiento de bacterias). Un experimento de crecimiento bacteriológico se inició con 4,000 bacterias. 10 minutos más tarde, se tenían 12,000. Si se supone que el crecimiento es exponencial: $f(t)=A\,\mathrm{e}^{kt}$ ¿cuántas bacterias se tendrá a los 30 minutos?
(Utilidades). Las utilidades de una compañía crecen exponencialmente: $f(t)=A\,\mathrm{e}^{kt}$. En 1995, éstas fueron de 3 millones de dólares y, en el 2000, fueron de 4.5 millones. ¿Cuáles fueron las utilidades en 2005?
(Desintegración radioactiva)}. La cantidad que queda de una sustancia radioactiva, después de $t$ años de desintegración, está dada por:

\[ Q(t) = A\,\mathrm{e}^{ -0.00015t } \text{ gramos} \]

Si al final de 5,000 años quedan 3,000 gramos, ¿cuántos gramos había inicialmente?.
(Desintegración radioactiva). Una sustancia radioactiva se desintegra exponencialmente: $f(t)=A\,\mathrm{e}^{-kt}$. Inicialmente había 450 gramos y, 60 años después, había 400 gramos.

¿Cuántos gramos habrá después de 240 años?.
(Producto Nacional Bruto)}. El producto nacional bruto (P.N.B.) de cierto país, $t$ años después de 1995, fue de $f(t)$ millones de dólares, donde:

\[ f(t) = P(10)^{kt} \; ,P \, \text{ y } \, k \text{ son constantes} \]

\[ \begin{aligned} f(t) &= P(10)^{kt}, \\[.5em] &\hspace{2em} P \, \text{ y } \, k \, \text{ son constantes} \end{aligned} \]

Si en 1995 el P.N.B. fue de 8,000 millones de dólares y, en el 2000, fue de 16,000 millones de dólares ¿cuál fue el P.N.B. en el año 2010?
(Presión atmosférica). Se ha determinado que, a la altura de $h$ pies sobre el nivel del mar, la presión atmosférica es de $P(h)$ libras por pie cuadrado, donde:

\[ P(h) = M\,\mathrm{e}^{-0.00003h}, \;M \text{ es constante} \]

\[ \begin{aligned} P(h) &= M\,\mathrm{e}^{-0.00003h}, \\[.5em] &\hspace{2em} M \text{ es constante} \end{aligned} \]

Si la presión atmosférica al nivel del mar es de 2,116 libras por pie cuadrado, hallar la presión atmosférica fuera de un avión que vuela a 12,000 pies de altura.
(Tiempo de vida de las bombillas). Un fabricante de bombillas encuentra que la fracción $f(t)$ de bombillos que no se queman, después de $t$ meses de uso, está dada por:

\[ f(t) = \mathrm{e}^{-0.2t} \]
1. ¿Qué porcentaje de los bombillas dura por lo menos un mes?.
2. ¿Qué porcentaje dura al menos 2 meses?.
3. ¿Qué porcentaje se quema durante el segundo mes?.
(Ventas). Una compañía transaccional ha descubierto que si distribuyen $x$ miles de unidades gratuitas de un producto especifico, entre influencers, habrá un incremento de ventas de acuerdo a la siguiente formula:

\[ V(x) = 30 – 18\, \mathrm{e}^{-0.3x} \text{ miles de productos} \]

\[ \begin{aligned} V(x) = 30 – 18\, &\mathrm{e}^{-0.3x} \text{ miles} \\[.5em] &\hspace{1em} \text{de productos} \end{aligned} \]
1. ¿Cuántos productos se venderán si no se han distribuido unidades gratuitas?
2. ¿Cuántos productos se venderán si se han obsequiado 800 unidades?
(Depreciación). El valor de reventa de una máquina, después de $t$ años de uso, es:

\[ V(t) = 520\, \mathrm{e}^{-0.15t} + 460 \text{ miles de dólares} \]

\[ \begin{aligned} V(t) = 520\, \mathrm{e}^{-0.15t} &+ 460 \text{ miles} \\[.5em] &\hspace{1em}\text{ de dólares} \end{aligned} \]
1. Bosquejar el gráfico de la función reventa.
2. ¿Cuál fue el valor de la máquina cuando era nueva?.
3. ¿Cuál será el valor de la máquina cuando cumpla 20 años de uso?.
(Desintegración radioactiva). Si $Q_0$ es la cantidad inicial de una sustancia radioactiva, la misma se desintegra exponencialmente, a razón de $Q(t)=Q_0\,\mathrm{e}^{-kt}$. La vida media de la sustancia es de λ unidades de tiempo (años, meses, horas, etc.). Probar que la cantidad remanente, después de $t$ unidades de tiempo, es de:

\[ Q(t) = Q_0\,\mathrm{e}^{ – \left( \frac{\ln 2}{\lambda} \right) t } \]
(Desintegración del radio). El radio se desintegra exponencialmente y su vida media es de 1,690 años ¿Cuánto tiempo tardarán 200 gramos de este elemento para reducirse a 40 gramos?

Sugerencia: Ver el problema anterior.
(Nivel de alcohol en la sangre). Poco tiempo después de consumir una considerable cantidad de ron, el nivel de alcohol en la sangre de cierto conductor es de 0.4 miligramos por mililitro ($mg/ml$). De aquí en adelante, el nivel de alcohol decrece de acuerdo a la función:

\[ f(t) =(0.4) \left( \frac{1}{2} \right)^t, \]

donde $t$ es el número de horas transcurridas después de haber alcanzado el nivel antes indicado. Si el límite legal para manejar un vehículo es de 0.08 $mg/ml$ ¿cuánto tiempo debe esperar la persona para manejar legalmente?
(Cálculo del monto). Se deposita un capital de 12 millones de dólares en un banco que paga 14% anual de interés compuesto continuo ¿En cuántos años se tendrá un monto de 21 millones?
(Suscriptores). Dos canales de Youtube compiten por suscriptores de una audiencia específica. Uno de ellos tiene 500,000 suscriptores y crece 1.5% mensualmente. El otro tiene 900,000 suscriptores y decrece a razón de 0.5% mensual ¿Cuánto tiempo transcurrirá hasta que ambos canales tengan la misma cantidad de suscriptores?
(Venta de un libro). Un nuevo libro de Ciencia de Datos saldrá al mercado pronto. Se estima que si se obsequian $x$ miles de ejemplares a los profesores, en el primer año se venderán $f(x)=12-5\,\mathrm{e}^{-0.2x}$ miles de ejemplares ¿Cuántos textos deben obsequiarse si se quiere una venta, en el primer año, de 9,000 ejemplares?
(Producto Nacional Bruto). El producto nacional bruto (P.N.B.) de cierto país esta creciendo exponencialmente. En 1995 fue 60,000 millones y, en 2000, fue de 70,000 millones ¿Cuál fue el P.N.B. en el 2005?
(Población de la Tierra). La población de la tierra en 1986 fue 4,917 millones de habitantes, y crecía a razón de 1.65% anual. Si esta razón es continua ¿en cuántos años la población alcanzará 8,000 millones?
(Edad de un fósil). Un arqueólogo calculó que la cantidad de ¹⁴C en un tronco de árbol fosilizado es la cuarta parte de la cantidad de ¹⁴C que contienen los árboles actuales ¿Qué edad tiene el tronco fosilizado?
(Cálculo del monto). Se pide un préstamo bancario de $7,500,000, para ser pagado en dos años, ganando interés de 28% anual. Hallar la cantidad de dinero que deberá devolverse al banco si el interés:
1. es simple.
2. se compone anualmente.
3. se compone trimestralmente.
4. se compone mensualmente.
5. se compone continuamente.
(Cálculo del capital). ¿Qué capital produce un monto de $2,500,000 al final de 5 años si la tasa es de 16% anual, que se compone:
1. Trimestralmente?.
2. Continuamente?.
(Cálculo del monto). En el año 1626, el holandés Piter Minuit compró la isla de Manhattan (Nueva York), a los nativos, por 24 dólares. Suponga que los nativos depositaron estos 24 dólares en un banco, ganando una tasa anual de 5%, que se compone continuamente ¿Cuál fue el monto en el año 2000?
(Tiempo de duplicación de capital). ¿Con qué rapidez se duplica un dinero si se invierte a una tasa anual de $15\%$ que se compone:
1. Semestralmente?.
2. Continuamente?.
(Tiempo de triplicación de capital). ¿Con qué rapidez se triplicará un dinero invertido a una tasa anual de $15\%$ que se compone:
1. Semestralmente?.
2. Continuamente?.