Problema 112

La suma de dos veces el inverso de un número, con tres veces el inverso de otro número, es trece. La diferencia de tres veces el inverso del primer número y dos veces el inverso del segundo, es cero. Entonces el producto de ambos números es:

\( \frac{5}{6} \)
\( \frac{2}{5} \)
\( 6 \)
\( 5 \)
\( \frac{1}{6} \)

Intenta resolverlo antes de ver la respuesta...

Respuesta

\( \frac{1}{6} \)

Solución Paso a Paso

Sean \( x \) e \( y \) los dos números. Sus inversos son:

\[ \frac{1}{x} \quad \text{ y } \quad \frac{1}{y} \]

De acuerdo al enunciado se tiene que:

\[ \frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 13, \quad \frac{3}{x} – \frac{2}{y} = 0 \]

Entonces:

\( \boldsymbol{(1)} \hspace{2em} 2y + 3x = 13 xy \)

\( \boldsymbol{(2)} \hspace{2em} 3y – 2x = 0 \)

De \((2)\) se obtiene:

\[ \boldsymbol{(3)} \hspace{2em} y = \frac{2}{3} x \]

Reemplazando \((3)\) en \((1)\):

\begin{aligned} 2 \left( \frac{2}{3} x \right) + 3x = 13x \left( \frac{2}{3} x \right) &\Rightarrow 4x + 9x = 26x^2 \\[1em] &\Rightarrow 26x^2 – 13x = 0 \\[1em] &\Rightarrow 13x (2x – 1) = 0 \\[1em] &\Rightarrow 13x = 0 \quad \text{ ó } \quad 2x – 1 = 0 \\[1em] &\Rightarrow x = 0 \quad \text{ ó } \quad x = \frac{1}{2} \end{aligned}

\begin{aligned} &2 \left( \frac{2}{3} x \right) + 3x = 13x \left( \frac{2}{3} x \right) \\[1em] &\hspace{4em}\Rightarrow 4x + 9x = 26x^2 \\[1em] &\hspace{4em}\Rightarrow 26x^2 – 13x = 0 \\[1em] &\hspace{4em}\Rightarrow 13x (2x – 1) = 0 \\[1em] &\hspace{4em}\Rightarrow 13x = 0 \quad \text{ ó } \quad 2x – 1 = 0 \\[1em] &\hspace{4em}\Rightarrow x = 0 \quad \text{ ó } \quad x = \frac{1}{2} \end{aligned}

Como \(x\) tiene inverso, \(x \neq 0 \), por lo tanto:

\[ x = \frac{1}{2} \]

Reemplazando esta última igualdad en \((3)\):

\[ y = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2} \right) \Rightarrow y = \frac{1}{3} \]

Por último:

\[ xy = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \boldsymbol{ \frac{1}{6} } \]

Más Problemas de Razonamiento Matemático