Problemas Resueltos - Razonamiento matemático
Problema 197
¿Cuál de las opciones contiene una expresión numérica equivalente a la siguiente expresión?
\[ \sqrt[3]{ 4a \sqrt[4]{ 48 a^2 \sqrt{81} } } \]-
\( 2 \sqrt[4]{ 3a^2 } \)
-
\( 2a \sqrt[4]{ 3 } \)
-
\(2 \sqrt{3 \sqrt{a} } \)
-
\(3 \sqrt[3]{2a}\)
-
\( \sqrt[3]{ \sqrt{ a \sqrt[4]{2} } } \)
Intenta resolverlo antes de ver la respuesta...
-
\( 2 \sqrt[4]{ 3a^2 } \)
En efecto:
\[
\begin{aligned}
\sqrt[3]{ 4 a \sqrt[4]{ 48a^2 \sqrt{81} } }
&=
\sqrt[3]{ 2^2 \cdot a \sqrt[4]{ 2^4 \cdot 3 \cdot a^2 \sqrt{ 3^4 } } }
\\[1em]
&=
\sqrt[3]{ 2^2 \cdot a \sqrt[4]{ 2^4 \cdot 3 \cdot a^2 \cdot 3^2 }}
\\[1em]
&=
\sqrt[3]{ \sqrt[4]{ 2^{12} \cdot 3^3 \cdot a^6 } }
\\[1em]
&=
\left( \left( 2^{12} \cdot 3^3 \cdot a^6 \right)^{ \frac{1}{4} } \right)^{ \frac{1}{3} }
\\[1em]
&=
\left( 2^{12} \cdot 3^3 \cdot a^6 \right)^{ \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} }
\\[1em]
&=
\left( 2^{12} \cdot 3^3 \cdot a^6 \right)^{ \frac{1}{12} }
\\[1em]
&=
2^{ \frac{12}{12} } \cdot 3^{ \frac{3}{12} } \cdot a^{ \frac{6}{12} }
\\[1em]
&=
2^1 \cdot 3^{ \frac{1}{3} } \cdot a^{ \frac{2}{4} }
\\[1em]
&=
2 \left( 3 \cdot a^2 \right)^{ \frac{1}{4} }
\\[1em]
&=
\boldsymbol{ 2 \sqrt[4]{ 3 a^2 } }
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
&\sqrt[3]{ 4 a \sqrt[4]{ 48a^2 \sqrt{81} } }
\\[1em]
&\hspace{4em}=
\sqrt[3]{ 2^2 \cdot a \sqrt[4]{ 2^4 \cdot 3 \cdot a^2 \sqrt{ 3^4 } } }
\\[1em]
&\hspace{4em}=
\sqrt[3]{ 2^2 \cdot a \sqrt[4]{ 2^4 \cdot 3 \cdot a^2 \cdot 3^2 }}
\\[1em]
&\hspace{4em}=
\sqrt[3]{ \sqrt[4]{ 2^{12} \cdot 3^3 \cdot a^6 } }
\\[1em]
&\hspace{4em}=
\left( \left( 2^{12} \cdot 3^3 \cdot a^6 \right)^{ \frac{1}{4} } \right)^{ \frac{1}{3} }
\\[1em]
&\hspace{4em}=
\left( 2^{12} \cdot 3^3 \cdot a^6 \right)^{ \frac{1}{4} \times \frac{1}{3} }
\\[1em]
&\hspace{4em}=
\left( 2^{12} \cdot 3^3 \cdot a^6 \right)^{ \frac{1}{12} }
\\[1em]
&\hspace{4em}=
2^{ \frac{12}{12} } \cdot 3^{ \frac{3}{12} } \cdot a^{ \frac{6}{12} }
\\[1em]
&\hspace{4em}=
2^1 \cdot 3^{ \frac{1}{3} } \cdot a^{ \frac{2}{4} }
\\[1em]
&\hspace{4em}=
2 \left( 3 \cdot a^2 \right)^{ \frac{1}{4} }
\\[1em]
&\hspace{4em}=
\boldsymbol{ 2 \sqrt[4]{ 3 a^2 } }
\end{aligned}
\]