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Problemas Resueltos - Razonamiento matemático

Problema 46

En la figura la suma de los ángulos \( \angle AOB \)   y   \( \angle COD \) es \( 55^{\circ} \)   y la suma de los ángulos \( \angle BOD \)   y   \( \angle AOC \) es \( 95^{\circ} \). ¿Cuanto mide, en grados, el ángulo \( \angle AOD \)?

  1. 55

  2. 65

  3. 75

  4. 85

  5. 95

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En efecto, sean:

\( \alpha + \beta = 55 \hspace{4em} \boldsymbol{(1)} \)

\( \theta + \phi = 95 \hspace{4em} \boldsymbol{(2)} \)

\( \theta = \alpha + x \hspace{4em} \boldsymbol{(3)} \)

\( \phi = x + \beta \hspace{4em} \boldsymbol{(4)} \)

Reemplazando (3) y (4) en (2):

\[ (\alpha + x ) + ( x + \beta ) = 95 \]

Entonces:

\( 2x + ( \alpha + \beta ) = 95 \hspace{4em} \boldsymbol{(5)} \)

Reemplazando (1) en (5):

\[ \begin{aligned} 2x + 55 = 95 &\Rightarrow 2x = 40 \\[.5em] &\Rightarrow x = 20 \end{aligned} \]

Por último:

\[ \begin{aligned} \angle AOD = \alpha + x + \beta &= (\alpha + \beta) + x \\[.5em] &= 55 + 20 \\[.5em] &= \boldsymbol{75} \end{aligned} \]

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