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Problemas Resueltos - Razonamiento matemático

Problema 73

Del triángulo \( \triangle ABC \) de la figura se sabe que \( \overline{AB} = 3 \, cm \)   y que   \( \overline{BC} = 4 \, cm \), entonces el valor de \( \overline{BH} \) en \(cm\) es:

  1. \( \frac{12 \sqrt{5}}{5} \)

  2. \( \frac{144}{25} \)

  3. \( \frac{12}{25} \)

  4. \( \frac{144}{5} \)

  5. \( \frac{12}{5} \)

Intenta resolverlo antes de ver la respuesta...
  1. \( \frac{12}{5} \)

Por el teorema de Pitágoras en el triángulo \( \triangle ABC\), tenemos que:

triángulo
\[ \begin{aligned} {\overline{AC}}^2 &= \overline{AB}^2 + \overline{BC}^2 \\[2em] &= 3^2 + 4^2 \\[2em] &= 9 + 16 \\[2em] &= 25 \\[1em] &\hspace{3em} \Rightarrow \overline{AC} = \sqrt{25} = 5 \end{aligned} \]

Los lados del ángulo \( \angle \alpha \) son perpendiculares a los lados del ángulo \( \angle \alpha’ \). Luego, de acuerdo a la lección ángulos, \( \angle \alpha \) y \( \angle \alpha’ \) son congruentes. En consecuencia, según la lección Propiedades del triángulo, los triángulos rectángulos \( \triangle AHB \) y \( \triangle ABC \) son semejantes.

Por lo tanto, sean \( C_{ad} \)   y   \( C_{ad}’ \) los catetos adyacentes a los ángulos \( \angle \alpha \)   y   \( \angle \alpha’ \) respectivamente, tenemos que:

\[ \frac{C_{ad}}{ \text{Hipotenusa}} = \frac{C_{ad}’ }{ \text{Hipotenusa}} \]

Esto es, si \( h = \overline{BH} \):

\[ \begin{aligned} \frac{ \overline{BH} }{3} = \frac{4}{5} &\Rightarrow \overline{BH} = \frac{4 \times 3}{ 5 } \\[2em] &\Rightarrow \overline{BH} = \boldsymbol{ \frac{12}{5} } \end{aligned} \]

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