Problema 74

Problemas Resueltos - Razonamiento matemático

En una progresión geométrica el cuarto término es 3 y el segundo es 27. Entonces la suma de los cinco primeros términos es:

Respuesta

Solución Paso a Paso

Sean \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\) y \(a_5\) los cinco primeros términos de la progresión geométrica, y sea \(r\) la razón. Tenemos que:

\[ a_1 = \frac{27}{r} \]

\[ a_2 = 27 \]

\[ a_3 = 27r \]

\[ a_4 = 3 \]

\[ a_5 = 3r \]

Vemos que se pasa de \( a_2 = 27 \) a \( a_4 = 3 \) en dos pasos, multiplicando por la razón.

Esto nos dice claramente que la razón tiene que ser \( r = \frac{1}{3} \).

En consecuencia:

\[ \begin{aligned} a_1 &= \frac{27}{r} \\[1em] &= \frac{27}{ \frac{1}{3} } \\[1em] &= \frac{ 3 \times 27 }{1} = 81 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} a_3 &= 27r \\[1em] &= 27 \left( \frac{1}{3} \right) = 9 \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} a_5 &= 3r \\[1em] &= 3 \left( \frac{1}{3} \right) = 1 \end{aligned} \]

En resumen, los cinco primeros términos de la progresión son:

\[ a_1 = 81, \]

\[ a_2 = 27 \]

\[ a_3 = 9 \]

\[ a_4 = 3 \]

\[ a_5 = 1 \]

y la suma de estos términos es:

\[ \begin{aligned} a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 &= 81 + 27 + 9 + 3 + 1 \\[1em] &= \boldsymbol{121} \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} &a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 \\ &\hspace{3em}= 81 + 27 + 9 + 3 + 1 \\[1em] &\hspace{3em}= \boldsymbol{121} \end{aligned} \]