Precálculo Sec. 4.8

Aplicaciones de las funciones exponenciales y logaritmicas

1. (Población). La población de una ciudad, \(t\) años después del año 2000, es la siguiente:

   \[ P(t)= 60,000\, \mathrm{e}^{0.05t} \text{ habitantes} \]

   1. Calcular la población de la ciudad en el año 2015.

   2. Hallar el porcentaje anual de crecimiento de la población.

2. (Depreciación). El valor de una maquinaria, al transcurrir \(t\) años de comprada, es el siguiente:

   \[ V(t) = A\,\mathrm{e}^{-0.25t} \]

   La máquina fue comprada hace 9 años por \(\$ 150,000\)

   1. ¿Cuál es su valor actual?

   2. ¿Cuál es el porcentaje anual de declinación de su valor?

3. (Población). Se sabe que dentro de \(t\) años la población de cierto país será la siguiente:

   \[ P(t) = 18\,\mathrm{e}^{0.02t} \text{ millones de habitantes.} \]
   \[ \begin{aligned} P(t) = 18\,\mathrm{e}^{0.02t} &\text{ millones} \\[.5em] &\text{ de habitantes.} \end{aligned} \]

   1. ¿Cuál es la población actual del país?

   2. ¿Cuál será su población dentro de 15 años?

   3. ¿Cuál es el porcentaje anual de crecimiento de la población?

4. (Crecimiento de bacterias). Un experimento de crecimiento bacteriológico se inició con 4,000 bacterias. 10 minutos más tarde, se tenían 12,000. Si se supone que el crecimiento es exponencial:   \(f(t)=A\,\mathrm{e}^{kt}\), ¿cuántas bacterias se tendrá a los 30 minutos?

5. (Utilidades). Las utilidades de una compañía crecen exponencialmente: \(f(t)=A\,\mathrm{e}^{kt}\). En 1995 éstas fueron de 3 millones de dólares y en el 2000 fueron de 4.5 millones. ¿Cuáles fueron las utilidades en 2005?

6. (Desintegración radioactiva)}. La cantidad que queda de una sustancia radioactiva después de \(t\) años de desintegración está dada por:

   \[ Q(t) = A\,\mathrm{e}^{ -0.00015t } \text{ gramos} \]

   Si al final de 5,000 años quedan 3,000 gramos, ¿Cuántos gramos había inicialmente?.

7. (Desintegración radioactiva). Una sustancia radioactiva se desintegra exponencialmente: \(f(t)=A\,\mathrm{e}^{-kt}\). Inicialmente había 450 gramos y 60 años después había 400 gramos.

   ¿Cuántos gramos habrá después de 240 años?.

8. (Producto Nacional Bruto)}. El producto nacional bruto (P.N.B.) de cierto país, \(t\) años después de 1995, fué de \(f(t)\) millones de dólares, donde:

   \[ f(t) = P(10)^{kt} \; ,P \, \text{ y } \, k \text{ son constantes} \]
   \[ \begin{aligned} f(t) &= P(10)^{kt}, \\[.5em] &\hspace{2em} P \, \text{ y } \, k \, \text{ son constantes} \end{aligned} \]

   Si en 1995 el P.N.B. fue de 8,000 millones de dólares y en el 2000 fue de 16,000 millones de dólares, ¿cuál fue el P.N.B. en el año 2010?.

9. Presión atmosférica). Se ha determinado que, a la altura de \(h\) pies sobre el nivel del mar, la presión atmosférica es de \(P(h)\) libras por pie cuadrado, donde:

   \[ P(h) = M\,\mathrm{e}^{-0.00003h}, \;M \text{ es constante} \]
   \[ \begin{aligned} P(h) &= M\,\mathrm{e}^{-0.00003h}, \\[.5em] &\hspace{2em} M \text{ es constante} \end{aligned} \]

   Si la presión atmosférica al nivel del mar es de 2,116 libras por pie cuadrado, hallar la presión atmosférica fuera de un avión que vuela a 12,000 pies de altura.

10. (Tiempo de vida de las bombillas). Un fabricante de bombillas encuentra que la fracción \(f(t)\) de bombillos que no se quemen después de \(t\) meses de uso está dada por:

    \[ f(t) = \mathrm{e}^{-0.2t} \]

    1. ¿Qué porcentaje de los bombillas dura por lo menos un mes?.

    2. ¿Qué porcentaje dura al menos 2 meses?.

    3. ¿Qué porcentaje se quema durante el segundo mes?.

11. (Venta de libros). Una editorial, estudiando el mercado, ha descubierto que si se distribuyen \(x\) miles de ejemplares gratuitos de un texto, la venta de dicho texto será, aproximadamente:

    \[ V(x) = 30 - 18\, \mathrm{e}^{-0.3x} \text{ miles de ejemplares} \]
    \[ \begin{aligned} V(x) = 30 - 18\, &\mathrm{e}^{-0.3x} \text{ miles} \\[.5em] &\hspace{1em} \text{de ejemplares} \end{aligned} \]

    1. ¿Cuántos textos se venderán si no se han distribuido ejemplares gratuitos?.

    2. ¿Cuántos se venderán si se han regalado 800 ejemplares?.

12. (Depreciación). El valor de reventa de una máquina, después de \(t\) años de uso, es:

    \[ V(t) = 520\, \mathrm{e}^{-0.15t} + 460 \text{ miles de dólares} \]
    \[ \begin{aligned} V(t) = 520\, \mathrm{e}^{-0.15t} &+ 460 \text{ miles} \\[.5em] &\hspace{1em}\text{ de dólares} \end{aligned} \]

    1. Bosquejar el gráfico de la función reventa.

    2. ¿Cuál fue el valor de la máquina cuando era nueva?.

    3. ¿Cuál será el valor de la máquina cuando cumpla 20 años de uso?.

13. (Desintegración radioactiva). Si \(Q_0\) es la cantidad inicial de una sustancia radioactiva, la misma se desintegra exponencialmente a razon de: \(Q(t)=Q_0\,\mathrm{e}^{-kt}\). La vida media de la sustancia es de \(\lambda\) unidades de tiempo (años, meses, horas, etc.). Probar que la cantidad remanente después de \(t\) unidades de tiempo es de:

    \[ Q(t) = Q_0\,\mathrm{e}^{ - \left( \frac{\ln 2}{\lambda} \right) t } \]

14. (Desintegración del radio). El radio se desintegra exponencialmente y su vida media es de 1,690 años. ¿Cuánto tiempo tardarán 200 gramos de este elemento para reducirse a 40 gramos?.

    Sugerencia: Ver el problema anterior.

15. (Nivel de alcohol en la sangre). Poco tiempo después de consumir una considerable cantidad de ron, el nivel de alcohol en la sangre de cierto conductor es de 0.4 miligramos por mililitro (\(mg/ml\)). De aquí en adelante, el nivel de alcohol decrece de acuerdo a la función:

    \[ f(t) =(0.4) \left( \frac{1}{2} \right)^t, \]

    donde \(t\) es el número de horas transcurridas después de haber alcanzado el nivel antes indicado. Si el límite legal para manejar un vehículo es de 0.08 \(mg/ml\). ¿Cuánto tiempo debe esperar la persona para manejar legalmente?.

16. (Cálculo del monto). Se deposita un capital de 12 millones de dólares en un banco que paga 14\(\%\) anual de interés compuesto continuo ¿En cuántos años se tendrá un monto de 21 millones?.

17. (Competencia de ventas). Dos periódicos compiten en ventas. Uno de ellos tiene una circulación de 500,000 ejemplares y crece 1.5\(\%\) mensualmente. El otro tiene una circulación de 900,000 ejemplares y decrece a razón de 0.5\(\%\) mensual. ¿Cuánto tiempo tomará para que ambos periódicos tengan igual circulación?.

18. (Venta de un libro). Un nuevo texto de Cálculo Vectorial saldrá al mercado. Se estima que si se obsequian \(x\) miles de ejemplares a los profesores, en el primer año se venderán \(f(x)=12-5\,\mathrm{e}^{-0.2x}\) miles de ejemplares. ¿Cuántos textos deben obsequiarse si se quiere una venta en el primer año de 9,000 ejemplares?.

19. (Producto Nacional Bruto). El producto nacional bruto (P.N.B.) de cierto país esta creciendo exponencialmente. En 1995 fue 60,000 millones y en 2000 fue de 70,000 millones.¿Cuál fue el P.N.B. en el 2005?.

20. (Población de la Tierra). La población de la tierra en 1986 fue de 4,917 millones de habitantes, y crecía a razón de 1.65\(\%\) anual. Si esta razón es continua, ¿en cuántos años la población alcanzará 8,000 millones?.

21. (Edad de un fósil). Un arqueólogo calculó que la cantidad de \(^{14}\)C en un tronco de árbol fosilizado es la cuarta parte de la cantidad de \(^{14}\)C que contienen los árboles actuales. ¿Qué edad tiene el tronco fosilizado?.

22. (Cálculo del monto). Se pide prestado a un banco \(\$ 7,500,000\) para ser pagado en dos años, ganando interés de \(28\%\) anual. Hallar la cantidad de dinero que deberá devolverse al banco si:

    1. El interés es simple.

    2. El interés se compone anualmente.

    3. El interés se compone trimestralmente.

    4. El interés se compone mensualmente.

    5. El interés se compone continuamente.

23. (Cálculo del capital). ¿Qué capital produce un monto de \(\$ 2,500,000\) al final de 5 años si la tasa es de \(16\%\) anual que se compone:

    1. Trimestralmente?.

    2. Continuamente?.

24. (Cálculo del monto). En el año 1626 el holandés Piter Minuit compró a los nativos la “isla” de Manhattan (Nueva York), por 24 dólares. Suponga que los nativos depositaron estos 24 dólares en un banco, ganando una tasa anual de \(5\%\) que se compone continuamente. ¿Cuál fue el monto en el año 2000?.

25. Tiempo de duplicación de capital). ¿Con qué rapidez se duplica un dinero si se invierte a una tasa anual de \(15\%\) que se compone:

    1. Semestralmente?.

    2. Continuamente?.

26. (Tiempo de triplicación de capital). ¿Con qué rapidez se triplicará un dinero invertido a una tasa anual de \(15\%\) que se compone:

    1. Semestralmente?.

    2. Continuamente?.