Problemas Resueltos - Razonamiento matemático
Problema 103
Si \(a\), \(b\), \(x\) e \(y\) son números enteros, y además, \( x = 2a - b \) e \( y = 4a^2 + 2ab + b^2 \), la expresión \( xy \geq 10 \) se cumple cuando:
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\( a \geq 1, \, b = 0 \)
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\( 8a^3 + 4a^2 b + 2ab^2 > 10 + b^3 \)
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\( 10 + b^3 > 8a^3 - 4a^2 b \)
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\( 5a^3 - 2a^2 b > 10 - 8a^3 \)
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\( 8a^3 - b^3 > 10 \)
Intenta resolverlo antes de ver la respuesta...
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\( 8a^3 – b^3 > 10 \)
De acuerdo a la diferencia de cubos \( a^3 – b^3 = (a-b) \left( a^2 +ab + b^2 \right) \), tenemos que:
\[ \begin{aligned} xy &= (2a – b) \left( 4a^2 + 2ab + b^2 \right) \\[1em] &= (2a – b)\left( (2a)^2 + (2a)b + b^2 \right) \\[1em] &= (2a)^3 – b^3 \\[1em] &= 8a^3 – b^3 \end{aligned} \]Luego,
\[ \begin{aligned} 8a^3 – b^3 > 10 &\Rightarrow xy > 10 \\[1em] &\Rightarrow xy \geq 10 \end{aligned} \]