Problemas Resueltos - Razonamiento matemático
Problema 182
¿Cuál de las siguientes condiciones satisface los vectores \( \vec{a} = (6, -2) \) y \( \vec{b} = (-12, \, 4) \) ?
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Unitarios
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Ortogonales
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Opuestos
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Linealmente independientes
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Linealmente dependientes
Intenta resolverlo antes de ver la respuesta...
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Linealmente dependientes
Por definición, los vectores \( \vec{a} \) y \( \vec{b} \) son linealmente dependientes si existen dos números reales \( \alpha \) y \( \beta \), ambos no nulos, tales que:
\[ \alpha \vec{a} + \beta \vec{b} = \vec{0} \]Los números \( \alpha \) y \( \beta \) se consiguen observando que:
\[ (-12, \, 4) = -2 (6, -2) \]De donde,
Vemos que los números requeridos son:
\[ \alpha = 2 \quad \text{ y } \quad \beta = 1 \]Es fácil verificar que los vectores \( \vec{a} \) y \( \vec{b} \) no satisfacen las otras cuatro condiciones. Así:
No son linealmente independientes, ya que son linealmente dependientes.
No son opuestos, ya que \( (6, -2) \neq -( -12, \, 4 ) \).
No son ortogonales ya que su producto escalar no es nulo. En efecto:
\[ \begin{aligned} &(6, -2) \cdot (-12, \, 4) \\ &\hspace{6em}= 6 (-12) + (-2)(4) \\ &\hspace{6em}= -80 \end{aligned} \]\[ \begin{aligned} (6, -2) \cdot (-12, \, 4) &= 6 (-12) + (-2)(4) \\ &= -80 \end{aligned} \]No son unitarios, ya que no tienen norma (longitud) 1. De hecho, la norma de estos es:
\[ \begin{aligned} \parallel (6, -2) \parallel &= \sqrt{ 6^2 + (-2)^2 } \\ &= \sqrt{40} \end{aligned} \]y
\[ \begin{aligned} \parallel (-12, \, 4) \parallel &= \sqrt{ (-12)^2 + 4^2 } \\ &= \sqrt{160} \end{aligned} \]