Problemas Resueltos - Razonamiento matemático
Problema 192
Si \( x \) es un número real que cumple \( -1 \leq x \leq 0 \), y \( a \) es un número entero positivo, entonces ¿cuál es la mayor de la siguientes expresiones?
-
\( ax \)
-
\( \frac{x}{a} \)
-
\( -ax \)
-
\( x^a \)
-
\( - \frac{x}{a} \)
Intenta resolverlo antes de ver la respuesta...
-
\( -ax \)
En efecto:
Por otro lado, como \( -1 \leq x \leq 0 \), se tiene que \( x^a \leq x^2 \). Además, no es dificil ver que \( x^2 \leq -ax \).
En consecuencia, la mayor de las 5 expresiones es una de las 2 siguientes:
\[ -\frac{x}{a} \quad \text{ ó } \quad -ax \]Pero, a continuación, demostramos que \( – \frac{x}{a} \leq -ax \), lo que nos permite concluir que el mayor es \( -ax \).
Por ser \( a \) un entero positivo, se tiene que \( \frac{1}{a} \leq a \).
Además:
\[ x \leq 0 \Rightarrow -x \geq 0 \]Ahora, por la lección Desigualdades, tenemos que:
\[ \frac{1}{a} \leq a \quad \textbf{ y } \; -x \geq 0 \Rightarrow -\frac{x}{a} \leq -ax \]