Problema 30

Problemas Resueltos - Razonamiento matemático

Un niño retira de su alcancía una cierta cantidad todos los días. El primer día retiró \$243, y el último \$32. Se sabe que las cantidades retiradas forman una progresión geométrica y que la suma total de los retiros fue \$665. Entonces el número de retiros efectuados fué:

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Respuesta

Solución Paso a Paso

De acuerdo a la lección «Progresiones Geométricas», tenemos que:

$ a_n = a_1 r^{n – 1} \hspace{4em} \boldsymbol{(1)} $

$ S_n = \cfrac{1 – r^n}{1 – r} a_1 \hspace{4em} \boldsymbol{(2)} $

Conocemos que:

\[ a_1 = 243, \]

\[ a_n = 32, \]

\[ S_n = 665 \]

De (1) obtenemos que:

\[ \begin{aligned} r^{n – 1} &= \frac{a_n}{a_1} \\[.5em] &= \frac{32}{243} \\[.5em] &= \frac{2^5}{3^5} \\[.5em] &= \left( \frac{2}{3} \right)^5 \end{aligned} \]

Esto es, $ r^{n – 1} = \left( \cfrac{2}{3} \right)^5 $

Buscaremos la respuesta de una forma indirecta:

Como $ r^{n – 1} = \left( \frac{2}{3} \right)^5 $, conjeturamos que:

\[ r = \frac{2}{3} \quad \text{ y } \quad n – 1 = 5 \]

Es decir:

\[ r = \frac{2}{3} \quad \text{ y } \quad n = 6 \]

Ahora, usando (2), demostramos que nuestra conjetura es correcta:

\[ \begin{aligned} S_n &= \frac{1 – r^n}{1 – r} a_1 \\[.5em] &= \frac{ 1 – \left( \frac{2}{3} \right)^6 }{ 1 – \frac{2}{3} } (243) \\[.5em] &= \frac{ 1 – \frac{2^6}{3^6} }{ 1 – \frac{2}{3} } \left( 3^5 \right) \\[.5em] &= \frac{ \frac{3^6 – 2^6}{3^6} }{ \frac{3 – 2}{3} } \left( 3^5 \right) \\[.5em] &= \frac{ \frac{3^6 – 2^6}{3^6} }{ \frac{1}{3} } \left( 3^5 \right) \\[.5em] &= \frac{ 3 \left( 3^6 – 2^6 \right) }{ 3^6 } \left( 3^5 \right) \\[.5em] &= \frac{ 3^6 \left( 3^6 – 2^6 \right) }{ 3^6 } \\[.5em] &= 3^6 – 2^6 \\[.5em] &= 729 – 64 \\[.5em] &= 665 \quad \text{(el número correcto)} \end{aligned} \]

Por lo tanto, concluimos que, efectivamente, $ \boldsymbol{n = 6} $.

Nota: Hallar la respuesta resolviendo ecuaciones es mucho mas complicado.

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