Sea \(x\) un punto de tal conjunto. Según el enunciado del problema, se tiene que:
\[
\boldsymbol{(1)} \hspace{3em}
|x – 3| < |x – 5|
\]
Los puntos 3 y 5 dividen a la recta en tres intervalos, los que nos permitirán resolver la ecuación \(\boldsymbol{(1)}\) considerando tres casos. Estudiaremos cada caso por separado.
Los intervalos son: \( (-\infty, \, 3) \), \( [3, \, 5) \) y \( [ 5, +\infty ) \)
Caso 1. \(\boldsymbol{x}\) en el intervalo \(\boldsymbol{ (-\infty, \, 3) }\), es decir, \(\boldsymbol{ x < 3 }\):
\[
\begin{aligned}
x < 3
&\Rightarrow x < 3 \quad \text{ y } \quad x < 5
\\[2em]
&\Rightarrow
x – 3 < 0 \quad \text{ y } \quad x – 5 < 0
\end{aligned}
\]Entonces:
\(|x – 3| = -(x – 3) \)
y
\(|x – 5| = -(x – 5)\)
\[
\begin{aligned}
x < 3
&\Rightarrow x < 3 \quad \text{ y } \quad x < 5
\\[2em]
&\Rightarrow
x – 3 < 0 \quad \text{ y } \quad x – 5 < 0
\\[2em]
&\Rightarrow
|x – 3| = -(x – 3) \quad \text{ y } \quad |x – 5| = -(x – 5)
\end{aligned}
\]
Reemplazando en \((1)\):
\[
\begin{aligned}
– (x – 3) < – (x – 5)
&\Leftrightarrow
-x + 3 < -x + 5
\\[2em]
&\Leftrightarrow
3 < 5
\end{aligned}
\]
Como \(3 < 5\) es cierto, no importando el valor de \(x\), entonces \( x \in (-\infty, +\infty) \).
Pero, como estamos tomando el caso 1, en el que \(x \in (-\infty, \, 3)\), la solución, para este caso es la intersección de los dos intervalos; esto es:
\[
(-\infty, +\infty) \cap (-\infty, \, 3) = \boldsymbol{(-\infty, \, 3)}
\]
Caso 2. \(\boldsymbol{x}\) en el intervalo \(\boldsymbol{[3,\,5)}\), es decir, \(\boldsymbol{3 \leq x < 5 } \):
\[
\begin{aligned}
3 \leq x < 5
&\Rightarrow 3 \leq x \quad \text{ y } \quad x < 5
\\[2em]
&\Rightarrow x – 3 \geq 0 \quad \text{ y } \quad x – 5 < 0
\\[2em]
&\Rightarrow |x – 3| = x – 3
\quad \text{ y } \quad
|x – 5| = – (x – 5)
\end{aligned}
\]
\[ \begin{aligned}
3 \leq x < 5
&\Rightarrow 3 \leq x \quad \text{ y } \quad x < 5
\\[2em]
&\Rightarrow x – 3 \geq 0 \quad \text{ y } \quad x – 5 < 0
\end{aligned} \]Entonces:
\( |x – 3| = x – 3 \)
y
\( |x – 5| = – (x – 5) \)
Reemplazando en \((1)\):
\[
\begin{aligned}
x – 3 < -(x – 5) &\Leftrightarrow x – 3 < -x + 5
\\[2em]
&\Leftrightarrow
2x < 8
\\[2em]
&\Leftrightarrow
x < 4
\Leftrightarrow
x \in (-\infty, \, 4)
\end{aligned}
\]
Caso 3. \(\boldsymbol{x}\) en el intervalo \(\boldsymbol{ [5, +\infty) }\), es decir, \(\boldsymbol{ 5 \leq x }\):
\[
\begin{aligned}
5 \leq x
&\Rightarrow
3 < x \quad \text{ y } \quad x \geq 5 \\[2em] &\Rightarrow x – 3 > 0 \quad \text{ y } \quad x – 5 \geq 0
\\[2em]
&\Rightarrow
|x – 3| = x – 3 \quad \text{ y } \quad |x – 5| = x – 5
\end{aligned}
\]
\[
\begin{aligned}
5 \leq x
&\Rightarrow
3 < x \quad \text{ y } \quad x \geq 5 \\[2em] &\Rightarrow x – 3 > 0 \quad \text{ y } \quad x – 5 \geq 0
\\[2em]
&\Rightarrow
|x – 3| = x – 3 \quad \text{ y } \quad |x – 5| = x – 5
\end{aligned}
\]Entonces:
\( |x – 3| = x – 3 \)
y
\( |x – 5| = x – 5 \)
Reemplazando en \((1)\):
\[
x – 3 < x – 5 \Leftrightarrow -3 < -5
\]
Como \( -3 < -5 \) nunca se cumple, no importando el valor de \(x\), entonces \( x \in \emptyset \), el conjunto vacío.
Pero, como estamos evaluando el caso 3, en el cual \( x \in [ 5, +\infty ) \), la solución, para este caso es la intersección de los dos intervalos; esto es:
\[
[5, +\infty) \cap \emptyset = \emptyset
\]
Por último, la solución total es la unión de las soluciones de los tres casos. Esto es:
\[
(-\infty, \, 3) \cup [3, \, 4) \cup \emptyset = \boldsymbol{(-\infty, \, 4 )}
\]
