Problema 173

En la figura adjunta, \( \overline{AB} \parallel \overline{DE} \), \( \overline{AB} \) mide \( 80 \, m \), \( \overline{DE} \) mide \( 40 \, m \) y \( \overline{DC} \) mide \( 30 \, m \). Además, \( \overline{DB} \) es perpendicular a \( \overline{AB} \).

¿Cuánto mide, en metros, el segmento \( \overline{AC} \)

Intenta resolverlo antes de ver la respuesta...

Respuesta

Solución Paso a Paso

Se entiende que el triángulo \( \triangle CDE \) es rectángulo, con hipotenusa \( \overline{CE}, \) y catetos \( \overline{DE} = 40 \) y \( \overline{DC} = 30 \).

Aplicamos el Teorema de Pitágoras:

\[ \begin{aligned} \overline{CE} &= \sqrt{ (40)^2 + (30)^2 } \\[1em] &= \sqrt{ 2500 } \\[1em] &= 50 \end{aligned} \]

Por otro lado, observemos a los triángulos rectángulos \( \triangle ABC \) y \( \triangle CDE \). Los ángulos \( \angle A \) y \( \angle E \) son alternos internos. Estos ángulos son congruentes. Por la lección Propiedades del Triángulo, los triángulos rectángulos \( \triangle ABC \) y \( \triangle CDE \) son semejantes.

En consecuencia:

\[ \begin{aligned} \frac{ \overline{AC} }{ \overline{AB} } = \frac{ \overline{CE} }{ \overline{DE} } \\[1em] &\Rightarrow \frac{ \overline{AC} }{ 80 } = \frac{50}{40} \\[1em] &\Rightarrow \overline{AC} = 80 \times \frac{50}{40} = \boldsymbol{ 100 \, m. } \end{aligned} \]

\[ \begin{aligned} &\frac{ \overline{AC} }{ \overline{AB} } = \frac{ \overline{CE} }{ \overline{DE} } \\[1em] &\hspace{3em} \Rightarrow \frac{ \overline{AC} }{ 80 } = \frac{50}{40} \\[1em] &\hspace{3em} \Rightarrow \overline{AC} = 80 \times \frac{50}{40} = \boldsymbol{ 100 \, m. } \end{aligned} \]

Más Problemas de Razonamiento Matemático